工程力学第四章要点.ppt

第4章 刚体定轴转动 4.1 转动方程、角速度和线速度 4.2 功率、转速与转矩间的关系 小 结 第4章 刚体定轴转动 刚体的运动形式很多，在机械中常见的有平动、绕固定轴转动和平面运动。 由于刚体的任何复杂运动都可以分解为平动和转动，所以平动和绕定轴转动是刚体运动的基本形式。本章只研究刚体绕定轴转动。 4.1 转动方程、角速度和线速度 4.1.1 转动方程 刚体转动时，体（或其延伸部分）有一条直线始终保持不动，其余各点都绕此直线作圆周运动。这种运动称为刚体绕固定轴转动，简称转动。固定不动的直线称为转动轴。 为了确定刚体任一瞬时在空间的位置，现设某一刚体绕固定轴Oz转动，如图4-1所示。过刚体转轴作平面Ⅰ和平面Ⅱ，平面Ⅰ与固定参考体保持不动，平面Ⅱ联结在刚体上与刚体一起绕定轴转动，两平面之间夹角φ称为转角。显然刚体在空间的位置，可由转角φ来确定，对应一个转角φ，刚体便有一个确定的位置。 4.1 转动方程、角速度和线速度 刚体转动时，转角φ随时间而变化，是时间t的单值连续函数，即 (4.1) 式(4.1)称为刚体绕定轴转动的转动方程，它反映了刚体的转动规律。 转角的单位用弧度(rad)表示，规定从转轴的正向朝负向看去，逆时针转动时，φ角为正；顺时针转动时，φ角为负。 4.1 转动方程、角速度和线速度 4.1.2 角速度和线速度 角速度是表示刚体转动快慢和转动方向的物理量。设在瞬时t，刚体的转角为；在瞬时t，刚体的转角为，如图4-2所示。则在时间内，刚体转过了角，则比值的极值称为刚体在t瞬时的瞬时角速度，简称角速度，以ω表示。有 (4.2) 式(4.2)表明，刚体的角速度等于转角对时间的一阶导数。角速度的正负号表示刚体的转动方向。当时，，刚体往转角的正向转动，即逆时针转动；当时，，刚体往转角的负向转动，即顺时针转动。角速度的单位为弧度/秒(rad/s)或简写为1/秒(1/s)。 4.1 转动方程、角速度和线速度 工程上常用转速n表示转动的快慢，转速n的单位为转/分(rpm)，n与ω之间的关系为 物理学中曾学过，绕定轴转动刚体内任意一点速度的大小，等于角速度与该点转动半径的乘积，其方向与转动半径垂直，并与刚体转向一致，如图4-3所示。由于速度方向沿圆周切线，所以又称为线速度或圆周速度。线速度v与角速度ω的关系为 v=rω 式(4.4)中，r为转动半径。 4.1 转动方程、角速度和线速度 在工程中，一般知道轮子的转速n和直径d，则将式(4.3)及r=d/2代入式(4.4)得轮缘上一点的线速度为 (4.5) 式(4.5)中d的单位为m，n的单位为rpm。 由于转动刚体上各点速度的大小都与转动半径成正比，所以在转动半径上各点速度分布规律呈如图4-4所示的三角形分布，即线性分布。 4.2 功率、转速与转矩间的关系 4.2.1 功率 力在单位时间内所做的功称为功率，用符号P表示。根据物理学知，不变力的功率等于力F在其作用点速度v的乘积（设力F与速度方向一致），即 P=Fv 对于转动的刚体，如在其上某点A作用一个切向力F，则A点的线速度v=rω，如图4-5所示。则 P=Fv=F rω=Mω (4.6) 4.2 功率、转速与转矩间的关系 式(4.6)中M=Fr，为力F对刚体转轴O点之矩，即转矩的功率等于力对转动轴之矩与刚体的角速度的乘积。 功率的单位为瓦特，代号为W，1 W=1 J/s=1 N·m/s。工程中常用kW(千瓦)作功率的单位，1 kW=1000 W。 4.2 功率、转速与转矩间的关系 4.2.2 功率、转矩和转速之间的关系 在机械传动中常要根据给定的功率和转速来计算转矩的大小。将式(4.3)代入式(4.6),则可导出转动物体的功率P(kW)、转速n(rpm)与转矩M(N·m)的关系为 (4.7) 则有 4.2 功率、转速与转矩间的关系 式(4.8)中，P的单位为kW，M的单位为N·m，n的单位为rpm。 由以上各式可见，当功率P一定时，F与v成反比，或M与ω成反比。例如，汽车上坡时需要较大的驱动力矩M或较大的牵引力，驾驶员就用低速档，使汽车的速度减小，以便在一定功率的情况下产生较大的牵引力。 小 结