数值分析复习题答案.doc

数值分析复习题 一、填空 Chapter1 绪论 近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有 3 位有效数字. 用近似真值1000时，其有效数字有 4 位， 已知准确值x*与其有t位有效数字的近似值的绝对误差为。 设是真值的近似值，则有?????3?? ?位有效数字。 设一近似数x*=2.5231具有5位有效数字，则其相对误差限是 ，其绝对误差限是。 当很大时，为防止损失有效数字，应该使 。 Chapter2 插值方法 设，则 3 。 若则 0 。 对,差商 0 。 设，则差商 1 。 已知y=f(x)的均差, , f[x4, x3, x2]=14，f[x0, x3, x2]=8 ,.那么均差f[x4, x2, x0]= 9 。（交换不变性） 设有数据则其2次Larange插值多项式为，2次拟合多项式为 （最佳平方逼近可求）。？？？ 以n + 1个 整 数 点k ( k =0,1,2,…,n) 为 节 点 的 Lagrange 插 值 基 函 数 为( k =0,1,2,…,n)，则 x 。？？（注：，则有拉格朗日插值公式：，即：） 若是三次样条函数， 则：a=_3_, b=_3_, c= 0 。 三次样条函数S(x)满足：S(x)在区间[a,b]内二阶连续可导，S(xk)=yk(已知)， k=0,1,2,…,n，且满足S(x)在每个子区间[xk, xk+1]上是 不超过三次的多项式 。 过(0，1)，(2，4)，(3，1)点的分段线性插值函数P(x)= 设有函数表如：，则可利用分段三次Hermite 插值，其插值多项式的次方为 三次 .？？ Chapter3 函数的最佳平方逼近 无 Chapter4 数值积分与数值微分 牛顿—柯特斯求积公式的系数和积分区间的长度（b-a）。（验证梯形、辛普森、科特斯公式满足）？？ 数值求积公式的代数精度为：2次代数精度 。（依次将函数代入验证是否满足，可得代数精度） 求积公式的代数精度为：3次代数精度 。 求积分的近似值，其辛卜生公式为. 求积分的近似值，其复化梯形公式为 设，则用梯形公式得近似值为 n点高斯型求积公式其代数精度是2n-1 。如5点高斯求积公式，其代数精度为 9 。 Chapter5 线性方程组的直接解法 能用高斯消元法求解的充要条件是 A的各阶顺序主子式不为零（P113） ,当满足条件时( 各阶顺序主子式不为零),可作LU分解, 当满足条件时（A为n阶对称正定矩阵）,必有分解式,其中是对角元素为正的下三角阵。 Chapter6线性方程组的迭代解法 设，则 17 ，设A＝ ，则＝20 。 设有矩阵，则 10 ， 。 已知A＝ ，x＝，则 45 。 设，，则： 。 方阵A的谱半径是指 矩阵的条件数是指 。 非奇异矩阵A的条件数Cond(A)＝ ？？，A是病态是指 条件数数值很大 。？？ 已知? 9 。 Chapter8非线性方程的数值解法 解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数((x)满足在有根区间内 ，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛。 利用二分法求在上根的近似值，误差限为 。 设f(x)可微，则求方程x2=f(x)根的牛顿迭代格式为 。 求的近似值，其牛顿迭代格式为。 求的近似值，其牛顿迭代格式是 。 求解方程的Newton迭代公式为，割线公式为 。 序列满足递推关系：，若有误差, 这个计算过程 不 稳定。 Chapter9常微分方程初值问题的数值解法 微分方程数值解的几何意义是指 用直线代替曲线 。？？ 求解常微分方程处值问题 的改进Euler（梯形法）公式为，它是 二阶 方法(二阶精度)。Euler法是 一阶 方法(一阶精度)。P218 解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报---校正公式是。 预报值：，校正值： 。 计算题 Chapter1 绪论 无 Chapter2 插值方法 一、求一个次数不高于4的多项式p4(x)， 解： 设： 根据已知条件（五个未知数五个已知条件）解方程组可得： 即： 二、 设在上具有三阶连续导数，且 ，是区间的中点，是经过点 的二次多项式。试证明对任意 有 ，其中。 证明：由于，是经过点则可以构造出二次牛顿插值或拉格朗日插值，其误差均为： 本题中， ， ，其中：。 所以： 三、作一个三次多项式使满足：。 解：为二次牛顿插值多项式，建立差商表，如下图所示： 可得：，令 则，因为，解得 最后得满足条件的三次多项式：。 四、对于积分，若取节点试推导一个插值型求积公式