数值分析(颜庆津)第二章学习小结.doc

第三章 矩阵的特征值与特征向量的计算 --------学习小结 本章学习体会 本章主要讲的是矩阵的特征值与特征向量的计算。通过数值解法来计算矩阵的特征值与特征向量，主要阐述了几种解实矩阵的解法。主要有幂法与反幂法，Jacobi方法及QR方法等。幂法与反幂法主要是用于计算矩阵的按模最大、最小的特征值和特征向量。Jacobi方法主要是求实对称矩阵的特征值和特征向量。QR方法主要是求任何矩阵的特征值和特征向量。 通过对这一章的学习，我对数值分析这门课程有了更深入的了解。同时也认识到了自己的不足，matlab程序掌握的还不是很好，很多需要解决的问题。所以在今后的学习中还要多多注意软件的应用，这样会为这门课程的学习增加更多的帮助。 本章知识梳理 3.1幂法与反幂法 3.1.1幂法 幂法是计算矩阵按模最大的特征值及其相应特征向量的一种迭代法。 基本思想 算法（迭代公式） 一般算法 具体算法（三种） 使用范数 使用范数 Max()表示的绝对值最大的分量 幂法优点：算法简单，容易编写程序在计算机上实现。 缺点：收敛速度慢，其有效性依赖与矩阵特征值的分布情况 3.1.2反幂法（逆迭代） 为的是计算A的按模最小的特征值与相应的特征向量 3.1.3带原点位移的反幂法 基本思想 迭代公式 带原点位移的反幂法的两种MATLAB程序 3.1.4反幂法的特点 反幂法可求按模最小的特征值 反幂法是求给定近似特征值及其相应的特征向量的最佳方法之一，可使近似特征值更精确 反幂法与幂法迭代是否收敛取决于特征值的分布情况 注意： 幂法、 反幂法要求条件高，不适合于自动计算 （2）只有在矩阵阶数非常高，无法利用其它算法有效 计算时，才采用幂法 3.2Jacobi方法 3.2.1Jacobi方法的基本思想 理论依据：任一实对称矩阵正交相似于对角阵 Jacobi用一系列适当选取的平面旋转变换将给定的实对称矩阵逐步化为对角阵 迭代公式 3.2.2Jacobi方法的计算步骤 在的非对角线元找按模最大的元素 求正交矩阵Pk使 控制迭代终止的条件 计算正交阵 3.2.3平面旋转变化 初等旋转阵（Givens矩阵） 初等旋转阵的性质 左乘向量 与矩阵相乘（左乘 右乘 左右乘） 3.2.4经典的Jacobi方法的实现 每次变换要求将矩阵中按模最大的非对角元化为零 特征值的求法 特征向量的计算 Jacobi方法优点：具有较强的数值稳定性、求得结果的精度一般都比较高、求得的特征向量正交性很好。 缺点：不能有效利用矩阵特殊形状来节省工作量、绝对值较小的特征值精度略差、较为耗时间。 3.3QR方法 QR方法是一种求一般矩阵的全部特征值和特征向量的一种迭代 3.3.1矩阵的QR分解 A=QR Q-正交矩阵 R-上三角矩阵 Householder矩阵（镜面反射阵） Householder矩阵的性质 矩阵的QR分解 QR分解的实现 QR分解的解法 3.3.2矩阵的拟上三角化 3.3.3QR方法 基本QR方法 迭代公式 QR方法的收敛性 QR算法的具体实现 QR方法的缺点 带原点位移的QR方法 带双布位移的QR方法 特征向量的计算 本章思考题 Jacobi方法是什么？它有什么优缺点？ Jacobi方法是一种求实对称矩阵全部特征值和特征向量的一种方法。 优点：具有较强的数值稳定性、求得结果的精度一般都比较高、求得的特征向量正交性很好。 缺点：不能有效利用矩阵特殊形状来节省工作量、绝对值较小的特征值精度略差、较为耗时间。 本章测验题 用幂法求以下矩阵的主特征值和主特征向量 解： 取初始向量，计算结果见下表 Max() 0 (1.0000,1.0000,1) 1 (0.9091,0.8182,1) 2.7500000 5 (0.7651,0.6674,1) 2.5887918 10 (0.7497,0.6508,1) 2.5380029 15 (0.7483,0.6497,1) 2.5366256 20 (0.7482,0.6497,1) 2.5365323 矩阵A的主特征值和特征向量的准确值分别为=2.5365258，(001。