9.6平面上曲线积分与路径无关的条件专用课件.pptVIP

9.6 平面上曲线积分与路线无关的条件 一、平面曲线积分与路线无关的条件 内容小结 思考与练习 返回 上页 下页 目录 第九章 一、平面曲线积分与路线无关的条件 二、原函数计算举例 三、小结与思考练习 在前面计算第二型曲线积分的开始两个例子中, 读者可能已经看到, 在一个例子中, 以 A 为起点B 为 终点的曲线积分, 若所沿的路线不同, 则其积分值也 不同, 但在另一个例子中的曲线积分值只与起点和终 点有关, 与路线的选取无关. 本节将讨论曲线积分在 什么条件下, 它的值与所沿路线的选取无关. G y x o B A 如果在区域G内有 1. 曲线积分与路线无关的定义 (ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分 与路线无关, 只与 L 的起点及终点有关; (iii) 是 D 内某一函数 的全微分, 即在 D 内有 (iv) 在 D 内处处成立 定理1 设 D 是单连通区域. 若函数 在 D 内连续, 且具有一阶连续偏导数, 则以 下四个条件两两等价: (i) 沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L, 有 若 满足定理1 的条件, 则 由上述证明可看到二元函数 具有性质 我们也称 为 的一个原函数. 二、原函数计算举例 例3 计算曲线积分 解 由于 解 与路径无关的四个等价命题 条件 等 价 命 题 作业 习 题 9-6 P221 2(2);3(2); 解: 2. 试应用曲线积分求 的原函数. 解 这里 在整个平面上成立 由定理1, 曲线积分 只与起点 A 和终点 B 有关, 而与路线的选择无关. 为此, 取 取路线为图21-22中的折 线段 于是有 证 (i) (ii) 如图 21-19, 设 与 为联结点 A, B 的任意两条按段光滑曲线, 由 (i) 可推得 所以 D 内任意一点. 由 (ii), 曲线积分 与路线的选择无关, 故当 在 D 内变动时, 其 积分值是 的函数, 即有 取 充分小, 使 则函数 对于 x 的偏增量(图21-20). (ii) (iii) 设 为 D 内某一定点, 为 因为在 D 内曲线积分与路线无关, 所以 因直线段 BC 平行于 x 轴, 故 , 从而由积分中 值定理可得 其中 根据 在 D 上连续, 于是有 同理可证 所以证得 (iii) (iv) 设存在函数 使得 因此 于是由 一点处都有 以及 P, Q 具有一阶连续偏导数, 便可知道在 D 内每 (iv) (i) 设 L 为 D 内任一按段光滑封闭曲线, 记 L 所围的区域为 . 由于 D 为单连通区域, 所以区域 含在 D 内. 应用格林公式及在 D 内恒有 的 条件, 就得到 上面我们将四个条件循环推导了一遍, 这就证明了 它们是相互等价的. 例 解 应用定理1 中的条件(iv)考察§2 中的两个例子 * * * *