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1信息光学的形成： 教学目的及要求 1.6 线性系统分析 实现函数运算过程称为系统 1.6.2 线性平移不变系统 1.6.4 线性平移不变系统的本征函数 另： 1．极限意义下的Fourier 变换 1.3.3.广义Fourier 变换： e.g. 求 F[sgn(x)sgn(y)]=? 设： δ函数的频谱在整个频域内均匀 2. 函数的Fourier 变换： e.g. 求 F[1]=? 设 3. 广义傅里叶变换计算举例 1.4 卷积和相关 0 x f(x) 3 2 -1 x h(x) 3 1 1.卷积的定义 线性系统的输出＝输入与系统脉冲响应的卷积 1.4.1 卷积 卷积的两大效应 卷积的四大步骤 (1)折叠 2.几何说明 (2)平移 (3)相乘 (4)积分 (1)展宽效应 (2)平滑效应 3. 卷积性质 1、交换性 2、线性性质 3、平移不变性 若 则 1 A 2 B 透镜透过函数（脉冲响应函数）：h(x) 像平面光场分布：g(x)=f(x)*h(x) 平移x0 像平面光场分布：g(x- x0)=f(x- x0)*h(x) 卷积平移 大小形状不变 5．坐标缩放性质 若 6.δ函数的卷积: 则 注意： δ函数与任何函数卷积仅重新产生该函数(严格再生) 4．结合律 7、卷积的光滑作用 脉冲响应函数h(x) 是对光学系统性能 的定量评价 若h(x)为δ函数 理想线性系统 无像差、无点扩散 h(x)越宽 成像质量越差 具有紧凑底座的两个函数的卷积 卷积的宽度近似等于被卷函数宽度之和 若两个被卷函数都具有紧凑底座 则严格成立 有限区间外恒为零 8、重复卷积 的重复自卷积 多个函数卷积产生一个比任一被卷函数都光滑得多的函数。当被卷函数越来越多时,卷积结果越来越象高斯函数 Gauss函数最光滑？ 9、二元函数的卷积 与δ函数的卷积 1.4.2 互相关 定义：f(x)与g(x)的互相关为 f(x) ★ g(x) 若 f(x) ★ g(x) 一般地 f(x) ★ g(x) ≠ g(x) ★ f(x) 互相关不对易 互相关是两个信号之间存在多少相似性的量度 f(x) ★ g(x) 互相关与卷积关系 若f(x)＝g(x) 则互相关变为自相关 f(x) ★ f(x) f(x) ★f (x) 即: 且: 自相关函数乃是自变量相差某一大小时,函数值间相关的量度 1.4.3 自相关 自相关函数具有厄密对称性 1.5 Fourier 变换的基本性质和有关定理 则 2．对称性 1． 线性性质 若 F[g(x,y)]=G(fx,fy)， F[h(x,y)]=H(fx,fy) 则F{a1g+a2h}= a1G+a2H 若 G( fx, fy) =F[g(x,y)] 1.5.1 Fourier 变换的基本性质 3．迭次傅里叶变换 则 4．坐标缩放性质 若 F[g(x,y)]=G(fx, fy) 空间域坐标（x,y）的伸展导致 频域坐标（fx, fy ）的压缩附加频谱幅度变高 极限情况： δ 函数 光学上 衍射孔径的伸展 导致衍射图样压缩 极限情况： 无衍射孔（空间域1） 一个点（频域δ 函数） （几何光学） 5．平移性 则 若 F[g(x,y)]=G(fx,fy) 物方位置移动 只引起像方位置变化 光强不变 像方位置变化反映在空间频率的变化或位相变化 例：设g(x,y)= δ(x,y) 则：F[g(x,y)]=F[δ(x,y)]=1 fx=0, fy=0 点光源位移(a,b) fx≠0, fy≠0 位相因子改变表示光传播方向改变 同样 6.体积对应关系 则 7. 复共轭函数的傅里叶变换 若 F[g(x,y)]=G(fx,fy) 1．卷积定理 则 F[g(x,y)]=G(fx,fy) F[h(x,y)]=H(fx,fy) 若 1.5.2 Fourier 变换的基本定理 习题：证明 2.相关定理 则 能量守恒 (1) 互相关定理 F{h(x) ★ g(x)} (2) 自相关定理 F{g(x) ★ g(x)} 3. Parseval定理 若 F[g(x,y)]=G(fx,fy) 4. 广义Parseval定理 5. 导数定理 6. 积分定理 7. 矩定理 →从略 * * * 信息光学 Fourier Optics 信息光学是应用光学、计算机科学和信息科学相结合而发展起来的一门新兴光学学科，是信息科学的重要组成部分，也是现代光学的核心课题之一。 自20世纪50年代以来 数学、电子技术和通信理论与光学结合 给光学引入频谱、空间滤波、载波、线性变换 及相关运算等概念 形成 信息光学 光学是一门传统科学 半个世纪