Fourier变换(Mathematial Analysis)专用课件.pptVIP

* 可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数的强度. t O d (t) 1 (1) 筛选性质 性质 设函数 是定义在 上的有界函数， 且在 处连续， 则 一般地，若 在 点连续， 则 * 可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的积分都有明确意义。 (2) 对称性质 函数为偶函数，即 * (1) 单位冲激函数 并不是经典意义下的函数，而是一 个广义函数(或者奇异函数)，它不能用通常意义下的 “值的对应关系”来理解和使用，而总是通过它的性质 注 来使用它。 (2) 单位冲激函数有多种定义方式，前面给出的定义方式 是由 Dirac(狄拉克)给出的。 * 利用筛选性质，可得出 函数的 Fourier 变换： [ ] 即 与 1 构成Fourier变换对 按照 Fourier 逆变换公式有 [ 1 ] -1 重要公式 称这种方式的 Fourier 变换是一种广义的Fourier变换。 在 函数的 Fourier 变换中，其广义积分是根据 函数的 注 性质直接给出的，而不是通过通常的积分方式得出来的， * 例如常数, 符号函数, 单位阶跃函数以及正, 余弦函数等, 然而它们的广义傅氏变换也是存在的, 利用单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换. 所谓广义是相对于古典意义而言的, 在广义意义下, 同样可以说,原象函数f(t) 和象函数F(w) 构成一个傅氏变换对. 在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件 * 证法2：若F(w)=2pd (w), 由傅氏逆变换可得 例1 证明：1和2pd (w)构成傅氏变换对. 证法1： * 例2 求正弦函数f (t)=sinw0t的傅氏变换。 t p p -w0 w0 O w |F(w)| ? * 例 3 证明： 证： * * §3 Fourier变换与逆变换的性质 这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件. 1.线性性质: * 2. 位移性质: 证明： 返回 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 推论： 证明： * 3. 相似性： 证明： * 例1 计算 。 方法1：（先用相似性，再用平移性） * 方法2：（先用平移性，再用相似性） * 4.微分性： * 5.积分性： 6. 帕塞瓦尔(Parserval)等式 * **实际上, 只要记住下面五个傅里叶变换, 则所有的傅里叶变换都无须用公式直接计算而可由傅里叶变换的性质导出. * 例2 利用傅氏变换的性质求d (t-t0),性质 像函数微分性质 * 例3 若 f (t)=cosw0t ? u(t), 求其傅氏变换。 （位移性质） 1 )] ( ) ( [ 2 j 0 0 2 2 0 w w d w w d p w w w + + - + - = ) ( ) j( 1 ) ( ) j( 1 2 1 ) ( 0 0 0 0 w w pd w w w w pd w w w ú ? ù + + + + ê ? é - + - = F ) ( j ) ( w pd w + ? t u 2 e e ) ( ) ( j j 0 0 w w ? + = - t u t f t t * 7.卷积与卷积定理 若已知函数f1(t), f2(t), 则积分 称为函数f1(t)与f2(t)的卷积, 记为f1(t)*f2(t) 卷积的概念: 任给函数f (t), 都有f (t)*d (t)=f (t), 这是因为 因此, 单位脉冲函数d (t)在卷积运算中起着类 似数的运算中的1的作用. * 例1 求下列函数的卷积： 由卷积的定义有 * 卷积定理： 若 则 （可用于化简卷积运算和傅氏变换） * 例2 求 的傅氏变换。 t t * 积分变换 第八章 Fourier变换 Fourier 变换是积分变换中常见的一种变换，它既能够 简化运算