浅析射影几何及其应用.doc

浅析射影几何及其应用 需要注意的是这里的线段都是有向线段，即需先规定直线的正方向。交比的最基本的性质是：在射影变换下交比不变。 交比的不变性在射影几何中有广泛的应用，在二次曲线中也有涉及。并且，若两条直线上的对应点都具有交比不变的性质，那么这个对应无论是怎么确定的（即使是非投影的方法）都可叫做射影对应。与此同时，我们还可定义出直线列、面列的交比，都可变成一条直线通过他们时的四个交点的交比，这里不详尽讨论。 2、笛沙格定理 笛沙格定理有空间和平面两种形式，但其本质是相同的，内容如下： 两个（或同一个）平面内有两个三角形ABC、DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线 空间形式的笛沙格定理的逆定理也成立，可以用同一法给出证明： 值得一提的是，笛沙格定理的对偶定理是它的逆定理。 平面中的笛沙格定理可以看做是空间图形“压下去了”，但是实际叙述中有很大难度，是否严谨也有待考究。平面中的证明需要用到梅涅劳斯定理，利用它也可以对空间图形进行证明。由于超出高考范围，这里不再深究，感兴趣的同学可以查阅资料进行探究。 以上是平面中笛沙格定理的一个证明。 来源：百度百科 3、对偶原理 对偶原理是射影几何中最引人注目的一个结论之一。其思想的精髓所在，早已超出了经典几何学，延伸到物理、化学等学科中。 在数学中，对偶原理被描述为：如果在一个射影几何学定理（正确的）中把点与直线的概念对换一下，把点的共线定义换成线的共点定义，所得命题仍然是正确的。这就是为什么要将点和线之间的关系描述为“相关联的”。下面所要介绍的布列安桑定理和帕斯卡定理就是一组对偶定理。（梅涅劳斯定理虽然和塞瓦定理形式相似，但他们属于度量几何学，不属于射影几何学的范畴） 物理学中对偶原理也有应用。例如在电磁学中，均匀导电媒质中的恒定电场与均匀介质中的电场对偶，电流密度矢量电位移矢量，电流I与电对偶J.Maxwell，1831-1879）方程组，具有极强的对称性，描述了电与磁之间的关系。只可惜天妒英才，这位伟大的物理学家在1865年提出后不久就去世了。在爱因斯坦（Albert Einstein, 1879-1955）提出相对论后，许多经典物理学中的公式和定义被改写（包括牛顿三大定律，甚至对空间和时间的概念），惟一没有变化的就是麦克斯韦方程组。具有优美数学形式，描述了自然界的本质的方程，历经沧桑之后仍能保持其本质，也是理所当然的。对偶原理是自然界最基本的原理之一，事实上，能够被称为“原理”的命题寥寥无几。 4、二次曲线在射影几何上的应用 二次曲线是解析几何中研究的一个重要内容，有许多种定义方法。为了更好研究它的性质，给出几种定义方法： 平面中与两个定点、的距离之和等于定值的动点P的轨迹叫做椭圆。这是我们最熟悉的一种椭圆的定义方式。同样，到两个定点的距离之差为定值的点的轨迹称为双曲线。这两个定点叫做焦点。抛物线的焦点可以理解在一个无穷远点处。我们初中学过的反比例函数的图像也叫做双曲线，和这里的双曲线是不是一样呢？事实上，反比例函数是双曲线的一种特殊形式：等轴双曲线。对勾函数实际上也是双曲线，并且有两条对称轴（以前可能以为它只有对称中心）。 平面内到定点F的距离与到定直线的距离之比为定值e的点的轨迹。e就是我们熟悉的离心率，定点就是二次曲线的焦点，e=1时为抛物线，e1时为双曲线，e1时为椭圆。 到两个顶点斜率之积为定值的点的轨迹。定值大于0时为双曲线，小于0为椭圆。特别地，定值为-1时为圆。 几何定义：用一个平面去截一个上下圆锥面，得到的交线就是二次曲线。因为这个定义，二次曲线也被叫做圆锥曲线。圆锥曲线这个名词实际上更常用一些。 将第一种定义与这种定义统一有一个非常巧妙的证明：丹德林的球 形如的方程表示的曲线叫二次曲线。这就是二次曲线的解析定义。二次曲线和这种方程是一一对应的。 下面将从两个对偶的方面研究二次曲线的射影定义。 圆是一种特殊的圆锥曲线，圆锥曲线可以定义为：一个圆在平面上的投影。但这并不是纯粹的射影定义，因为圆是度量几何的内容。众所周知，圆有一个这样的度量性质：一给定圆弧对的圆周角相等。考虑圆周上的四个点A、B、C、D，它就和交比这个射影的概念有关了。连接四个点与圆上的第五点O的四条直线a,b,c,d将有交比(ab,cd)并且这个交比不取决于O点的位置。现在把圆射影成任意二次曲线K，交比在射影中是不变的，这样引出：把二次曲线K上任意四点A、B、C、D和第五个点O用直线a、b、c、d连接起来，交比与O的位置无关。二次曲线这些射影性质，启发了我们对二次曲线的作图采取更一般的方法：先定义通过O的所有直线为一线束。二次曲线上有O，O’两点，通过他们的线束可以建立这样