lecture 8 基本集合恒等式专用课件.pptVIP

* 一．广义交和广义并 定义6.10 设A为集合，A的元素的元素构成的集合称为A的广义并，记为∪A。符号化表示为∪A＝{x|z(z∈A∧x∈z)}。 例6.4 设A＝{{a,b,c},{a,c,d},{a,e,f}}B＝{{a}}C＝{a,{c,d}} 则∪A＝{a,b,c,d,e,f}∪B＝{a}∪C＝a∪{c,d}∪ ф ＝ ф 根据广义并定义不难证明，若A＝{ A1,A2,…,An}，则∪A＝A1∪A2∪…∪An。 定义6.11 设A为非空集合，A的所有元素的公共元素构成的集合称为A的广义交，记为∩A。符号化表示为∩A＝{x|z(z∈A→x∈z)} 考虑例6.4中的集合，有∩A＝{a}，∩B＝{a}，∩C＝a∩{c，d} 对于空集ф可以进行广义并，即∪ ф ＝ ф 。但空集ф不可以进行广义交，因为∩ ф不是集合，在集合论中是没有意义的。 和广义并类似，若A＝{A1,A2,…,An}，则∩A＝A1∩A2∩…∩An。 为了使得集合表达式更为简洁，我们对集合运算的优先顺序做如下规定： 称广义并，广义交，幂集，绝对补运算为一类运算，并，交，相对补，对称差运算为二类运算。 一类运算优先于二类运算。一类运算之间由右向左顺序进行。二类运算之间由括号决定先后顺序。 基本集合恒等式 幂等律 A∪A＝A(6.1) A∩A＝A(6.2) 结合律 (A∪B)∪C＝A∪(B∪C)(6.3) (A∩B)∩C＝A∩(B∩C)(6.4) 交换律 A∪B＝B∪A(6.5) A∩B＝B∩A(6.6) 分配律 A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) (6.7) A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C) (6.8) 同一律 A∪ ф ＝A (6.9) A∩E＝A(6.10) 零律 A∪E＝E(6.11) A∩ ф ＝ ф   (6.12) 排中律 A∪～A＝E (6.13) 吸收律 A∪(A∩B)＝A  (6.15) A∩(A∪B)＝A(6.16) 德摩根律 A－(B∪C)＝(A－B)∩(A－C)(6.17) A－(B∩C)＝(A－B)∪(A－C) (6.18) ～(B∪C)=～B∩～C (6.19)～(B∩C)=～B∪～C(6.20)～ ф ＝E (6.21)～E＝ ф (6.22) 双重否定律 ～(～A)＝A (6.23) 矛盾律  A∩～A＝ ф  (6.14) 证明技巧一 除了以上算律以外，还有一些关于集合运算性质的重要结果。 例如： A∩B?A，A∩B?B(6.24)A?A∪B，B?A∪B(6.25)A－B?A(6.26)A－B＝A∩～B (6.27) 例6.10 证明(A－B)∪B＝A∪B证 (A－B)∪B＝(A∩～B)∪B＝(A∪B)∩(～B∪B)＝(A∪B)∩E＝A∪B 证明技巧二 A∪B＝B=A∩B＝A=A－B＝ ф (6.28) 例6.12 化简((A∪B∪C)∩(A∪B))－((A∪(B－C))∩A)。 解因为A∪B?A∪B∪C，A?A∪(B－C)，由式6.28有((A∪B∪C)∩(A∪B))－((A∪(B－C))∩A)＝(A∪B)－A =B－A 证明技巧三A?B＝B?A (6.29)(A ? B) ? C＝A ?(B ? C) (6.30)A ? ф ＝A (6.31)A ? A＝ ф     (6.32) A ? B＝A ? C=B＝C (6.33) 例6.13 已知A ? B＝A ? C，证明B＝C。证 已知A ? B＝A ? C，所以有 A ?(A ? B)＝A ?(A ?