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NP完全性 高文宇 gwyy@163.com Contents P和NP (Nondeterministic Polynomial time) 归约 NPC问题 P和NP 最短与最长路径 欧拉回路与哈密顿回路 2-CNF (Conjunctive normal form, 合取范式)可满足性和3-CNF可满足性 P和NP P类中包含的是在多项式时间内可以解决的问题。 NP类中包含的是在多项式时间内“可验证”的问题。是指给定某一解决方案的“证书”，就能在问题输入规模的多项式时间内，验证该“证书”是正确的。 P中任何问题都属于NP，因为若某一问题属于P，则可以在不给出证书的情况下，在多项式时间内解决它。 通俗地说，如果一个问题属于NP，且与NP中的任何问题一样“难”的，则说它属于NPC类，即NP完全的（NP Complete）。 判定问题和最优化问题 Optimization problem Decision problem NP完全性不直接适合于最优化问题，但适用于判定问题，因为这种问题的答案是简单的“是”或“否”。 归约 Reduction 考虑一个判定问题（A），希望在多项式时间解决该问题。称某一特定问题的输入为该问题的一个实例（instance）。现在，假设另一个不同的判定问题（B），我们知道如何在多项式时间内解决它。最后，假设有一个过程，它能将A的任何实例a转换为B的、具有如下特征的某个实例b： （1）转换操作需要多项式时间； （2）两个实例的答案是相同的。即a的答案若是“yes”，则b的答案亦是“yes”。 称这样一种过程为多项式时间的归约算法（Reduction Algorithm），并且，它提供了一种在多项式时间内解决问题A的方法。 NP完全性的证明 考虑一个判定问题A，若我们已知其不存在多项式时间算法。进一步假设有一个多项式时间规约，它将一个A的实例转换成B的实例，则B一定不存在多项式时间算法。 对NP完全性的证明亦是如此。 电路可满足性问题 电路可满足性问题：给定一个由“与”，“或”，“非”门组成的布尔组合电路，它是可满足电路吗？ 回答：Yes / No 证明C-SAT是NP完全（1） 引理34.5：电路可满足性问题属于NP类。 证明：Circuit-SAT可在多项式验证，因此属于NP类。 证明C-SAT是NP完全（2） 证明Circuit-SAT是NP完全问题的第二部分，就是要证明该语言是NP难度的，即必须证明NP中的每一种语言，都可以在多项式时间归约为Circuit-SAT。教材上基于计算机硬件的工作机理，给出了一个简要的证明过程。 引理34.6：C-SAT问题是NP难度的。 证明：…，C-SAT至少与NP中的任何语言具有同样的难度，并且它又是属于NP的，因此它是NP完全的。 定理34.7：C-SAT问题是NP完全的。 第一个NP完全问题 电路可满足性问题（Circuit satisfiability problem）。已知一个布尔组合电路，它由And、Or、Not门组成，我们希望知道这个电路是否存在一组布尔输入，是的它的输出为1. NP完全性的证明 引理34.8： If L is a language such that L′≤P L for some L′ ∈ NPC, then L is NP-hard. Moreover, if L ∈ NP, then L ∈ NPC. In other words, by reducing a known NP-complete language L′ to L, we implicitly reduce every language in NP to L. Thus, Lemma 34.8 gives us a method for proving that a language L is NP-complete: Prove L ∈ NP. Select a known NP-complete language L′. Describe an algorithm that computes a function f mapping every instance x ∈ {0, 1}* of L′ to an instance f(x) of L. Prove that the function f satisfies x ∈ L′ if and only if f (x) ∈ L for all x ∈ {0, 1}*. Prove that the algorithm computing f runs in polynomial time. (Steps 2-5 show that L is NP-hard.) This methodology o