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第五届MathorCup全球大学生 数学建模挑战赛 题目： B 朋友关系网络 济南大学：  目录 问题分析·········3 模型假设·········4 模型建立·········4 结论···········10 关键词: 朋友关系网络;集对朋友关系网络;集对分析 问题分析 1.朋友网络可以表示为由多个点(朋友关系行动者)和各点之间的连线(代表行动者之间的关系)组成的集合,若令G为一个朋友网络,E为边集,V为点集,则朋友关系网络可以表示为G=(V,E)。朋友关系网络体现着一种结构关系,可反映行动者之间的朋友关系。朋友关系网络可以分为两类:(1)缺省的朋友关系网络:朋友网络中行动者之间的信息存在不完备的;行动者与行动者之间的关系值是缺省的; (2)完整的朋友关系网络:行动者与行动者之间的关系值是完备的,也就是任意的两个行动者之间都有关系的存在。 2.不同年代间会形成的社会活动因素和产生的新的人们的爱好行为，这种动态变化对朋友关系网络的影响。 3.通过朋友关系网络信息发掘的研究,发现在利用朋友关系网络寻找个体之间的关联关系的过程中信息存在不确定现象,并且朋友关系网络是在不断动态变化着的。针对网络中存在的不确定以及动态问题,提出了集对朋友关系网络分析模型以及集对朋友关系网络分析模型的相关性质,并且给出了相应的应用实例。 模型假设 1.朋友关系网络涉及很多朋友关系现象,存在不确定性， 2.随时间的推移，朋友关系网络越来越密集。 3.不同的时代会对朋友关系网络的形成和动态变化有影响。 模型建立 1.1集就是由一定联系的两个集合构成对子,在协同的不确定系统背景下,对于两个有联系的集合A和B,对他们所具有的特性展开分析,共得到N个特性,其中S个为集对中共有的,并且有P个特性相对立(相反的),在其余F个特性上关系是不确定的,则两个集合联系度u的数学表达式为: 式中的,,简记为a,b,c,则联系度的式子可以表示为:u=a+bi+cj,且a+b+c=1 其中,i为差异标记,在区间[-1,1]上视不同情况取值,在[0,1]时差异部分趋向同一,在[-1,0]时差异部分趋向相反的。j仅起标记作用,集对所要处理的是任意两个集合之间由于不确定引起差异性,利用联系度表示出两个集合的关联程度。 联系度i的确定 在集对分析理论发展的今天,后继者都在不断完善集对分析理论,尤其在对i的取值上,赵克勤采用顺势取值法、逆势取值法、计算取值法和随机取值法等多种方法对i进行求解,提出应该在具体问题中找到i变化的规律,等提出了用统计试验方法来确定差异不确定系数i的新途径,给出了合理的取值。但这些方法并未从根本上提出有效的方法。而由提出分别将差异度与同一度和对立度的关联度作为i的取值,运用灰色理论中的绝对关联度计算方法对i进行求解。这个方法更能够通过差异度、同一度、对立度给出更合理的取值。 2集对朋友关系网络分析模型 在朋友关系网络关系中,对于两个研究对象的属性集合和,共有N个属性(即两个对象的属性之和),其中有S为两个对象属性集合中属性中相同的属性,有P为两个对象属性集合中不相同的属性,有F为两个对象属性集合中不确定的属性。则令，， 针对朋友关系网络中节点的复杂性,以及节点间关系的不确定性。我们给出了如下定义: 3.1设朋友关系网络中所有研究对象为论域集U=｛e1,e2,...en｝,其中对象和所具有的属性集合: A()={xk1,xk2,....,xkn}和A()={xs1,xs2,.....,xsm},则研究对象和在网络中某一时刻的联系度为:ρ(,)(t)=a(t)+b(t)i+c(t)j 其中(t)属于U和(t)属于U,a为两个对象所具有的相同属性与两个对象所共有的属性之比;b为两个对象所具有的不确定属性与两个对象所共有的属性之比;c为两个对象所具有的不相同的属性与两个对象所共有的属性之比;i为差异标记,在区间[-1,1]上视不同情况取值,j仅起标记作用,取值为-1。 由定义3.1我们知道在t时刻的两个研究对象的联系度为:ρ(,)(t)=a(t)+b(t)i+c(t)j 若给定属性一定的权重k(k=1,2,....,N,),假设属性按S,F,P的顺序排列并连续编号,那么其联系度为: ρ(,)(t)=a(t)+b(t)i+c(t)j=++ 其中i属于[-1,1];j=-1;a+b+c=1而在朋友关系网络中,网络会随时间不断的变化,原有的属性值就会发生变化,有的属性值不变,有的转化为其他的属性。不妨设在t+1时刻,原有的属性中仍有个处于不变状态,个转化为不确定的属性,个转化为相反的属性。则在[t,t+1]内的转移向量(经归一化处理)为 ++|/α(t) （