第3章非方程(组)的数值解法.doc

第3章 非方程（组）的数值解法 3.1 引 言 在第2章中，我们已经学过线性方程组的数值解法，但是在实际问题中，常常遇到的是非线性方程（组）的求解问题，而非线性问题比线性问题复杂，因此，非线性模型常常用线性模型来近似代替；然而，在精度要求比较高的情形下，必须直接求解非线性问题。本章首先讨论单个方程的求根方法，如二分法，不动点迭代法及其加速方法，牛顿迭代法及其改进方法，并讨论迭代序列的收敛性，收敛速度和误差估计等，最后简要介绍非线性方程组的一些数值解法。 定义3.1.1 对于单变量方程 (3.1.1) 如果有(实数或复数)，使，则称为方程(3.1.1)的根(root)，或函数的零点(zero point). 定义3.1.2 设是整数，若函数可以写成 ，且， (3.1.2) 则称为方程(3.1.1)的m重根(root of multiplicity m)或函数的m重零点(zero of multiplicity m). 特别地，当时，称为方程(3.1.1)的单根(simple root). 定理3.1.1 设在处阶导数存在，则是函数的重零点的充分必要条件是 ，. (3.1.3) 若为多项式 , 其中，为实数，则称方程(3.1.1)为n次代数方程(algebraic equation of degree n)。根据代数基本定理，方程(3.1.1)在复数范围内有且仅有n个根(含复根，m重根为m个根)。理论上已证明，当次数, 方程的根可用求根公式表示；而当时，方程没有一般的求根公式，通常都要用数值方法求解。 若为超越函数(transcendental function)，则称方程(3.1.1)为超越方程(transcendental equation)；如. 超越方程一般更难求得精确解，都要使用数值方法求解。 高次代数方程和超越方程都属于非线性方程(nonlinear equation)。对于非线性方程根的数值解法，主要解决以下3个问题： (1) 研究根的存在性；(2) 找出有根区间；(3) 计算根的近似值。 根的存在性，主要依据以下零点定理(zero-point theorem): 定理3.1.2 (零点定理) 设为上的连续函数，若有，则在区间内至少有一个实根。 通常称为有根区间。若在上还是单调函数，则在区间内仅有一个实根。 如何找出有根区间，通常可用图像法或逐次有哪些信誉好的足球投注网站法，具体做法是：从点出发，以为步长依次取点，如果，则区间为有根区间。在有根区间内，用适当的数值方法求出根的近似值，使其满足一定的精度要求。 3.2 求实根的二分法 求根方法中最简单直观的方法就是二分法(Bisection Method)。计算过程如下：　 设为上的连续函数, 且为有根区间，取中点，如果，则是方程的根；否则，将它平均分为两半，检查与是否同号。若是，则根x*在右侧，取, ; 否则取, ，得到新的有根区间，且 (见图3.2.1). 图3.2.1 重复以上过程，取，若，则是方程的根；否则，将平均分为两半，确定根在的哪一侧，得到新的有根区间，且；如此反复二分可得一系列有根区间 其中每一个区间长度都是前一个区间长度的一半，显然，的长度为 . 这时，取最后一个区间的中点作为根的近似值，其误差估计为 . (3.2.1) 当时，，即. 对给定的精度，要使，只需令 解得 . (3.2.2) 由式(3.2.2)可预先确定出二分法的次数. 二分法的优点是计算过程简单且收敛性有保证，但收敛的速度较慢，且该方法只能求实根，不能求复根或偶数重根，通常可用于求其他更好的求根迭代法的初始值。 例3..1 求方程的实根，要求精确到小数点后第2位。 解 设，则在实数域上均连续，且，由零点定理知，在内至少有一个实根。又因为，所以在内有且仅有一个实根。下面从区间[-3, 3]开始，以1为步长，通过计算的函数值，逐步缩小方程的有根区间(表3.2.1) 表3.2.1 -3 -2 -1 0 1 2 3 -39 -18 -9 -6 -3 6 27 由表3.2.1知，方程在区间内有且仅有一个实根。记 则 取的中点，将区间二等分，由于，即与同号，此时令，得到新的有根区间；如此反复二分下去。 下面估计二分的次数. 因为题目要求精确到小数点后第2位，所以可取精度，由(3.2.2)得， . 取，即至多二分7次即可，计算结果见表3.2.2. 表3.2.2 符号 0 1.0000 2.0000 1.500 1 1.0000