第4章 幂函数、指数函数、对数函数.doc

第四章：幂函数、指数函数和对数函数 4、1 幂函数的图像与性质 1、幂函数的概念 一般地，函数为常数，）叫做幂函数。 思考：（1）在我们学过的函数中，有哪些是幂函数？举例说明。 、、、、 (2)下列函数是否为幂函数： （1）； （2）； （3）； （4）。 2、幂函数的图像 画幂函数图像分两步： （1）画出幂函数在第一象限的图像（如图） （2）由定义域和奇偶性画出幂函数在其它象限的图像。 例1、分别画出下列幂函数的大致图像。 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8） （9）； （10）； （11）。 3、幂函数的性质： （1）幂函数的图像恒过点； （2）当时，幂函数在区间是上增函数； 当时，幂函数在区间上是减函数。 例2、已知幂函数是偶函数，且在区间上是单调增函数。求整数的值，并作出相应幂函数的大致图像。 解：（舍去），或，图像略。 例3、分别画出下列函数的大致图像。 （1）； （2）； （3）； （4）。 例4、设，正数满足：，则之间的大小关系为＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 解：在同一坐标系内作出函数 的图像， 与直线相交，得交 点的横坐标分别为。由图像 可以得出：。 例5、解不等式：（1）；　　（2）。 解：（1）考察幂函数，定义域为，在与上函数都是减函数，且时，当时。 由函数的图像可以得到： ①　或②　或 ③。 解得：或。所以不等式 的解集为。 （2）在同一坐标系中作出函数与的 图像。两函数的图像在第一象限内有交点， 所以不等式的解集为。 例6：设函数，研究函数的基本性质。 解：， 则函数的图像可以由幂函数的图像变化得到： 先将的图像向左平移2个单位，得到， 再向上平移1个单位，即得到的图像。 函数的定义域为； 值域为，不存在最大值与最小值； 函数图像关于直线对称，是非奇非偶函数； 在区间上是单调增函数，在区间上是单调减函数。 例7：已知函数是定义域在上的非常值函数，且对于任意的实数 满足：。 （1）求的值； （2）求证：对于任意的，； （3）若当时，，求证：函数在上是增函数。 解：（1）在中令得：， 所以或。若，对于， ，所以， 与是非常值函数矛盾。所以。 在中令得：， 所以或，若，则对于任意的， 恒成立， 与是非常值函数矛盾，所以。 （2）对于任意的，则， 若存在使得，则对于任意的， ，与是非常值函数矛盾。 所以对于，，知。 （3）设，且，由（2）知， ＝，因为，则， 所以，即，所以， 知是上的增函数。 讲评：导学先锋 练习巩固： 1、写出幂函数与的基本性质。 2、函数的定义域为＿＿＿＿＿＿＿＿； 3、已知是幂函数，且，则的解析式为＿＿＿＿； 4、若函数在上单调递减，则的最大负整数的值为＿＿＿＿＿； 5、幂函数的幂指数，若集合的值域为，那么＿＿＿＿＿＿＿＿＿；若集合的定义域为，那么＿＿＿＿＿＿＿＿；若集合的定义域与值域相同｝，则＿＿＿＿； 6、已知，函数的图像关于原点成中心对称且与两坐标轴都无公共点，则的值组成的集合为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 7、下列命题中正确的是（　　） A、当时，幂函数的图像是一条直线； B、幂函数的图像都经过与两点； C、若幂函数是奇函数，则在定义域内是增函数； D、幂函数的图像不经过第四象限。 8、已知幂函数是互质的整数）的图像关于轴对称，且在是是减函数，则满足（　　） A、且为奇数，为偶数；　　　　　　B、且为奇数，为偶数； C、且为偶数，为奇数；　　　　　　D、且为偶数，为奇数。 作业研究： 1、对于幂函数，当时，，则有理数的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿； 2、若函数是幂函数，则该幂函数的解析式为＿＿＿＿＿＿＿； 3、已知幂函数的图像经过点，试求此函数的解析式，并写出这的定义域、值域，判断它的奇偶性，写出单调区间。 4、已知幂函数是偶函数，且在区间上是单调减函数。 （1）求的解析式； （2）讨论函数的奇偶性。 5、已知函数。 （1）当为何值时，方程有解？ （2）探讨函数与的奇偶性，并说明理由； （3）写出函数的单调区间（不要求证明）； （4）分别计算的值，由此概括出涉及函数与的对所有非零实数成立的一个等式，并证明。 6、利用幂函数的性质，分别求下列各式中实数的取值范围： （1）； （2）； （3）。 7、奇函数的图像的对称中心是。 （1）利用幂函数的图像变换作出函数的图像，并写出此函数图像的对称中心坐标与单调区间； （2）进一步研究：函数的图像是否是中心对称图形？若是，请写出