第五讲 幂函数、指数函数、对数函数.doc

第五讲 函数与方程 1.幂函数 【例1】手机产业的发展催生了网络新字“孖”.某学生准备在计算机上作出其对应的图像，其中，如图所示.在作曲线段时，该学生想把函数的图像作适当变换，得到该段函数的曲线.请写出曲线段AB在上对应的函数解析式________. 解：单调递增，图象的两端点为(0,0),(1,1), 变换后的端点(0,0)变为(2,2),(1,1)变为,则需纵向拉伸和向上平移， 所以，设时，对应的解析式为：， 将代入，得：，解得： 【变式】手机产业的发展催生了网络新字“孖”.某学生准备在计算机上作出其对应的图像，其中，如图所示.在作曲线段时，该学生想把函数的图像作适当变换，得到该段函数的曲线.请写出曲线段AB在上对应的函数解析式________. 【例2】幂函数,当取不同的正数时，在区间上 它们的图象是一簇美丽的曲线（如图），称这簇曲线为“幂族曲线”， 设点，连接AB，线段AB恰好被其中的两条幂族 曲线和三等分，即有， 那么。 解：由已知得，因为M、N分别在和的图象上，所以 【例3】若，则满足的的取值范围是 . 【解析】，结合幂函数图像，如下图，可得的取值范围是 【例4】若函数的零点，为整数，则所以满足条件的值 为 。 【解】或 2.指数函数的图象与性质 【例1】若函数则函数的值域是__________。 解:,设,则 即 【例2】已知函数为偶函数,且,又, 函数,若恰好有4个零点,则a的取值范围是_____. 【答案】 【解析】:由题意可知, 是周期为4的偶函数,所以 因此,对称轴为,因为都是偶函数,所以也是偶函数, 要使恰有4个零点,只需在轴的右侧有两个交点即可, 作出二者的图象可知,必有,解得: 【例2】已知实数a,b满足等式下列五个关系式:①；②； ③；④；⑤。其中不可能成立的有( ) A、1个；B、2个；C、3个；D、4个。 解：如图，令 【例3】已知函数,则下列结论中，一定成立的是（ ） 解：作出函数的图象，因为 结合图象知， ， 。 【例4】设函数 （1）记集合，则所对应的的零点的取值集合为____。 （2）若 .（写出所有正确结论的序号） ① ② ③若 解：（1） 。 所以f(x)的零点集合为 （2）①②③ 解： 所以①正确。 所以②正确。 。所以③正确。 【例4】设函数的集合， 平面上点的集合，则在同一直角坐标系中，中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是 （A）4 （B）6 （C）8 （D）10 解析：当a=0,b=0;a=0,b=1;a=,b=0; a=,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1时满足题意，故答案选B， 3．对数函数的图象与性质 【例1】(2015高考北京，理7)如图，函数的图象为折线，则不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，把函数的图象向左平移一个单位得到的图象时两图象相交，不等式的解为， 用集合表示解集选C 【例2】定义“正对数”：，现有四个命题： ①若，则； ②若，则 ③若，则 ④若，则 其中的真命题有__________________.(写出所有真命题的编号) 解：①③④ 对于①：当时，，， 所以成立。 当时，，此时，即成立。 当时，，此时，即成立。 综上恒成立。 对于②：当时，， 所以不成立。 对于③： 经验证：成立。 经验证：成立。 ，故③正确； 对于④：分四种情况进行讨论： 当时，不妨令此时，。 同理， ，故④正确。 所以正确的命题为①③④。 4、函数的图象 【例1】(2013江西理10)如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线，之间//,与半圆相交于F,G两点，与三角形ABC两边相交于Ｅ，Ｄ两点，设弧的长为，，若从平行移动到，则函数的图像大致是 解： D ； 当逐渐增大时，也逐渐增大，故随的增大而增大，故排除B项。下面定性分析： 当时，弧长所对的圆心角为， 可求得向上移动的距离为， 故此时，又易知， 故， 因为，所以函数的图像是凹凸型，故选D。 【例2】10．如右图，已知正四棱锥所有棱长都为1，点E是侧棱上一动点，过点垂直于的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记截面下面部分的体积为则函数的图像大致为 解：A （定性法）当时，随着的增大，观察图形可知，单调递减，且递减的速度越来越快；当时，随着的增大，观察图形可知，单调递减，且递减的速度越来越慢；再观察各选项中的图象，发现只有A图