第四章线性方程组.doc

第四章 线性方程组 对于解线性方程组，早在二千多年前，中国古代的数学著作《九章算术》中就有了比较完整的论述，其基本思想是“消元”.在西方，17世纪莱布尼茨开创对线性方程组的研究，直至19世纪，由史密斯和道奇森等数学家奠定了线性方程组有解判定等现代理论. 我们知道，在现实中,大量的科学技术问题往往最终归结为解线性方程组,所以线性方程组的应用是十分广泛的,它已成为计算数学的一个重要内容.本教材后面各章诸多内容,如向量空间中基变换、坐标变换、求线性变换的特征向量、二次型理论等，均用到线性方程组理论. 本章我们将用矩阵理论来讨论一般线性方程组的如下几个问题:如何解线性方程组?线性方程组在什么情况下有解?有解时,有多少个解?有无穷多个解时,这些解如何表示?这些内容是线性方程组的核心理论,也是本章的重点. 本章的讨论均在数域上进行. 4.1 消元法 含个方程、个未知量的线性方程组表为 (1) 其中称第个方程中的系数,个方程的常数.(1)的系数作成的矩阵 , 称为(1)的系数矩阵.设 , , 则(1)可表为 . (2) (2)称为(1)的矩阵表示式.若设的列向量为, , 那么(1)又可表为 . (3) 称(3)为(1)的向量表示式. 一个线性方程组的未知量用什么字母表示是无关紧要的. (1)在省略未知量符号,运算符号和等号后所得的一张表 , 称为(1)的增广矩阵.线性方程组与它的增广矩阵相互对应. 若元有序数组满足(1)中每一个方程,则称它为(1)的一个解. ()称为(1)的一个解向量,在(2)中用列向量的形式来表示. 求(1)的解或判定(1)无解的过程,称为解线性方程组. (1)的所有解构成的集,称为(1)的解集.两个方程组如果有相同的解集,那么称这两个方程组同解. 定义1 以下变换称为线性方程组的初等变换: 1) 交换两个方程的位置; 2) 将一个非零数乘某一个方程的两边; 3) 用一个数乘一个方程两边对应加到另一个方程两边. 通过方程组的初等变换,将一个方程组变为另一个新的方程组.容易验证,方程组的初等变换保持方程组的同解性不变.方程组的三种初等变换,实际上对应方程组的增广矩阵的三类初等行变换.于是,解方程组便可在上来实现. 定理4.1.1 对(1)的增广矩阵施行初等行变换,必要时,对它的前列施行第一类列初等变换,则可化为 . (4) 仿定理3.4.3证明方法.略. (4)即为一个阶梯形矩阵. 与(4)相应的方程组为 (5) 在(5)中,1°若而中只要有一个不为零,那么(5)无解,因而(1)无解. 2°若或且 (5)化为 (6) (6)中这个方程称有效方程. 当时,(6)有唯一解:它也是(1)的唯一解. 当 时,将(6)改写为 (7) 此时，称为自由未知量.令得(7)的一个解: (8) 称(8)为方程组(1)的一般解. 上述解方程组的方法一般称为消元法. 由(4)看出,秩()=,而当有一个不为零时，秩()=+1,于是导致(1)无解.下面我们用线性相关性理论给出方程组(1)的有解判定. 定理4.1.2 线性方程组(1)有解的充分必要条件是: 秩()= 秩(). 证 由(1)的向量表示式(3),记,设 是(3)的一个解,即有 这表明可经线性表出.这样,的列向量可经的列向量线性表出.显然的列向量可由的列向量线性表出.于是与等价,因而它们等秩,即秩()= 秩(). 反之,设秩()= 秩().是的列向量组的极大无关组,当然它也是的列向量组的极大无关组.由向量组与它的极大无关组等价及等价的传递性知, 与等价.于是可经线性表出,即有一组数,使得 . 说明是(3)的一个解,即(1)有解. 若(1)有解,当秩()时(此时有效方程是个),由Cramer法则,(1)有唯一解.当时,则方程组有个有效方程,因而存在个自由未知量,由它们取值的任意性知，(1)有无穷多个解. 例 用消元法解线性方程组 解 方程组的增广矩阵 =. . 易知,秩()= 秩() = 2,原方程组有解. 与相应的方程组为 由的系数构成的行列式 , 于是以作为基本求知量,而取为自由未知量,并移至方程右边,得