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第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
教学目的:掌握隐函数和参数方程确定的函数的求导方法,会求其一二阶导数
教学重点:隐函数求导
教学难点:隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法,幂指函数的求导法
教学内容:
一、隐函数的导数
函数表示两个变量与之间的对应关系,这种对应关系可以用各种不同方式表达。前面我们遇到的函数,例如,等,这种函数表达方式的特点是:等号左端是因变量的符号,而右端是含有自变量的式子,当自变量取定义域内任一值时,由这式子能确定对应的函数值。用这种方式表达的函数叫做显函数。有些函数的表达方式却不是这样,例如,方程表示一个函数,因为当变量在内取值时,变量有确定的值与之对应。例如,当时,;当时,,等等。这样的函数称为隐函数。
一般地,如果在方程中,当取某区间内的任一值时,相应地总有满足这方程的唯一的值存在,那么就说方程在该区间内确定了一个隐函数。
把一个隐函数化成显函数,叫做隐函数的显化。例如从方程解出,就把隐函数化成了显函数。隐函数的显化有时是有困难的,甚至是不可能的。但在实际问题中,有时需要计算隐函数的导数,因此,我们希望有一种方法,不管隐函数能否显化,都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来。下面通过具体例子来说明这种方法。
例1: 求由方程所确定的隐函数的导数。
解:我们把方程两边分别对求导数,注意是的函数。方程左边对求导得
,
方程右边对求导得 。
由于等式两边对x的导数相等,所以
,
从而 。
在这个结果中,分式中的是由方程所确定的隐函数。
隐函数求导方法小结:
(1)方程两端同时对求导数,注意把当作复合函数求导的中间变量来看待,例如。
(2)从求导后的方程中解出来。
(3)隐函数求导允许其结果中含有。但求一点的导数时不但要把值代进去,还要把对应的值代进去。
例2: ,确定了是的函数,求。
解:,,时,。
例3:函数由方程所确定,则
解:方程两端求微分得
所以
例4:已知,求,
解:两边取对数
所以,
二、取对数求导法
对于幂指函数是没有求导公式的,我们可以通过方程两端取对数化幂指函数为隐函数,从而求出导数。
例5: 求的导数。
解:这函数既不是幂函数也不是指数函数,通常称为幂指函数。为了求这函数的导数,可以先在两边取对数,得;
上式两边对求导,注意到是的函数,得
,
于是 。
由于对数具有化积商为和差的性质,因此我们可以把多因子乘积开方的求导运算,通过取对数得到化简。
例6: 求的导数。
解:先在两边取对数(假定),得
,
上式两边对求导,注意到是的函数,得
,
于是 。
当时,;
当时,;
用同样方法可得与上面相同的结果。
注:关于幂指函数求导,除了取对数的方法也可以采取化指数的办法。例如,这样就可把幂指函数求导转化为复合函数求导;例如求的导数时,化指数方法比取对数方法来得简单,且不容易出错。
三、由参数方程确定的函数的导数
若由参数方程确定了是的函数,如果函数具有单调连续反函数,且此反函数能与函数复合成复合函数,那么由参数方程所确定的函数可以看成是由函数、复合而成的函数。现在,要计算这个复合函数的导数。为此,再假定函数、都可导,而且。于是根据复合函数的求导法则与反函数的导数公式,就有
,
即 。
上式也可写成 。
如果、还是二阶可导的,由还可导出对的二阶导数公式:
,
即
例7:设函数 由参数方程所确定,则=__________
解:
例8:设,则。
解:由于
所以。
经济数学---微积分教案
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