线性代数公式定理综合.doc

第一章 行列式 1．逆序数 1.1 定义 个互不相等的正整数任意一种排列为：，规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用表示，等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之和。 1.2 性质 一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即 。 证明如下： 设排列为，作次相邻对换后，变成，再作次相邻对换后，变成，共经过次相邻对换，而对不同大小的两元素每次相邻对换逆序数要么增加1 ，要么减少1 ，相当于，也就是排列必改变改变奇偶性，次相邻对换后，故原命题成立。 2．阶行列式的5大性质 性质1：转置（行与列顺次互换）其值不变。 性质2：互换任意两行（列）其值变号。 性质3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。 性质4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。 性质5：把行列式某行（列）倍后再加到另一行（列），其值不变。 行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。 评 注 对性质4的重要拓展： 设阶同型矩阵，，而行列式只是就某一列分解，所以，应当是个行列式之和，即。 评 注 韦达定理的一般形式为： 一、行列式定义 1．定义 其中逆序数 后面的小的数的个数 后面比小的数的个数后面比小的数的个数. 2．三角形行列式 二、行列式性质和展开定理 1．会熟练运用行列式性质，进行行列式计算. 2．展开定理 三、重要公式 设A是n阶方阵，则 1． 2． 3． 4． 5．，其中B也是n阶方阵 6．设B为m阶方阵，则 7．范德蒙行列式 四．有关结论 1．对于 (1) (2) 2. 为阶可逆矩阵 （与等价） 只有惟一零解 有惟一解（克莱姆法则） 的行（列）向量组线性无关 的n个特征值 可写成若干个初等矩阵的乘积 是正定矩阵 是中某两组基之间的过渡矩阵 3. 为阶不可逆矩阵 有非零解 0是的特征值 4.若为阶矩阵，为的n个特征值，则 5.若，则 行列式的基本计算方法： 应用行列式的性质化简行列式（例如化为三角形行列式就是一个常用方法）。 按行（列）展开行列式（在此基础上，有些题可用数学归纳法、有些题可用递推关系式来计算行列式）。 在实际使用中，常常将上述两种方法交替使用。 行列式的计算是行列式的重点内容，特别是低阶行列式及简单的n阶行列式的计算一般总要遇到（例如求特征值），因此，务求熟练掌握。 典型题: 数字行列式的计算. 利用行列式的定义. 利用行列式的基本性质. 一般的数字行列式，三角化，爪形行列式，行列式按某行（列展开），利用特征值、特征向量求。递推公式. 行列式的代数余子式的相关计算. 三. 类型成抽象行列式的计算. 1.与向量成分块矩阵结合 2与特征值、特征向量结合. 4 与代数余子式结合. 四.范德蒙行列式与克莱姆法则 第二章 矩阵 一 内容概要 1 矩阵的概念 注意它和行列式的区别：1）表现形式上的差别；2）表现本质上的差别，一个是数（行列式是数），而矩阵是一个符号；3）一般地当A是一个方阵时候，才有意义，但是；此外当A是长方形矩阵时没有意义。 2矩阵的运算及其运算律 矩阵的相等； 矩阵的线性运算： 矩阵的和：A+B 注意A和B要是阶数一致的矩阵（或称同型矩阵）； 矩阵的数乘（或称数乘矩阵） ； 一般地，若有意义，称为矩阵的一个线性运算； 3矩阵的转置 将矩阵A的行列互换，得到新的矩阵，称为矩阵A的转置。 4 矩阵的乘法 矩阵乘法的定义： 注意指出：在定义中，第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，而 5关于矩阵运算的运算律要注意的问题： 一般地原因是a)AB与BA不一定同时有意义；b)即使AB与BA都有意义，AB与BA的阶数也未必一致；例如 ； c)即使AB与BA其阶数相同，但AB与BA也未必相同；如果AB=BA，则称A与B是可以交换的。 例如 矩阵的乘法不满足消去律， 即一般地若 若 3 几种特殊类型的矩阵 （1）0矩阵；（2）单位矩阵；（3）对角矩阵；数量矩阵；（4）三角矩阵；上三角、下三角矩阵； 对称矩阵：若； 反对称矩阵：若； 关于反对称矩阵常用的结论：1）A的主对角线上的元素全是0；2）若A是奇数阶行列式，则; 正交矩阵：若，则称A是正交矩阵。 关于正交矩阵与对称矩阵的关系有：若A是一个实对称矩阵，则存在一个正交矩阵T使得：； 阶梯形矩阵 若A满足：0行全在非0行的下方，非0行的第一个非0的数它的下面的数全是0（若有的话）； 关于阶梯形矩阵：任意一个矩阵A都可以通过初等变换化为阶梯形矩阵； 分块矩阵；对一个矩阵进行适当的分快，可以带来很多方便，它有很多的应用； 初