测量平差.ppt

第二章平差数学模型与最小二乘原理 § 1 测量平差概述 § 2 测量平差的数学模型 § 3 函数模型的线性化 § 4 最小二乘原理 § 1 测量平差概述 在测量工作中，为了确定待定点的高程，需要建立水准网，为了确定待定点的平面坐标，需要建立平面控制网（包括测角网、测边网、边角网），我们常把这些网称为几何模型。每种几何模型都包含有不同的几何元素，如水准网中包括点的高程、点间的高差，平面网中包含角度、边长、边的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等元素。这些元素都被称为几何量。 在诸多几何量中，有的可以直接测量，但更多的是通过测定其它一些量来间接求出。如根据一点的坐标，通过直接测定的角度和距离求定另一些点的坐标；根据一点的高程，通过直接测定的高差求定另一些点的高程等等。这也充分说明要确定一个几何模型，并不需要知道其中所有元素的大小，只需知道其中的一部分就可以了，其它元素可以通过它们之间的函数描述而确定出来，这种描述所求量与已知量之间的关系式称为函数模型。 随着几何模型的不同，它所需要知道的元素的个数与类型也有所不同，要唯一地确定几何模型，就必须弄清楚至少需要观测哪些元素以及哪些类型的元素。 例如：⑴如图三角形ABC中，为了确定它的形状，只需要知道其中任意两个内角的大小就可以了，如 、 或 、 或 、 等。它们都是同一类型的元素。 ⑵要确定该三角形的大小和形状，就必须知道三个不同的元素，即任意的一边两角、任意的两边一角或者是三边。如： 或 或 等，它们中间都至少包含一条边长，否则只能确定其形状，而不能确定其大小，该情况包含两类元素（角度和边长）。 ⑶要确定该三角形的大小、形状和它在一个特定坐标系中的位置和方向，则必须知道图中15个元素中的6个不同的元素，当然，这6个元素可以构成更多的组合，但不论哪一种组合，都至少要包含一个点的坐标和一条边的坐标方位角，这是确定其位置和方向不可缺少的元素，通常称其为外部配置元素，它们的改变只相当于整个网在坐标系中发生了平移和旋转，并不影响该三角形的内部形状和大小。所以三角形中如果没有已知点坐标和已知方位角时，也可以假定一个点的坐标和一条边的方位角，这就相当于将该三角形定位于某个局部坐标系中，实际上只需要3个元素就可以了。如果A、B两点都是已知点，为确定三角形的大小、形状、位置和方向，则只需要任意两个元素就行了，如两角、两边或一边一角等。 在测量工作中，并不是对模型中的所有量都进行观测。假设对模型中的几何量总共观测n个，设必要观测个数为t， 当nt, 无法确定模型的解； 当n=t,则可唯一地确定该模型，但对观测结果中含有的粗差和错误都将无法发现； 为了能及时发现测量中的粗差和错误，提高观测成果的精度和可靠性，通常使观测值个数大于必要观测个数，即使nt。 设：r=n-t 式中n是观测值个数，t是必要观测个数，r称为多余观测个数，在统计学中也叫自由度。 有了多余观测，观测值之间必然不能满足理论上的条件方程，即观测值产生了矛盾，从而使观测值不能完全吻合于几何模型。 为了消除矛盾，通常用另一组被称为“观测值估值（又叫平差值、最或是值、最或然值）来代替观测值。 任何一个观测值估值都可以看作是一个改正了的观测值，是由观测值加上改正数而得到，观测值的改正数，它们必须在计算之前被计算出来。但这种改正数有无数多组（如：对三角形闭合差的分配），但从统计学角度讲，只有一组改正数能得到最优解。为求唯一的一组最优改正数，必须附加一定的约束条件，我们把按照某一准则求得观测值新的一组最优估值的计算过程叫平差。 §2 测量平差的数学模型 在测量工作中，涉及的是通过观测量确定某些几何量的大小等有关数量问题，因此，常考虑如何建立相应的数学模型及如何解算这些模型。由于测量观测值是一种随机变量，所以，平差的数学模型与传统数学上的模型不同，它不仅要考虑描述已知量与待求量之间的函数模型，还要考虑随机模型，在研究任何平差方法时，函数模型和随机模型必须同时予以考虑。 函 数 模 型 1. 条件平差法 2. 附有参数的条件平差法 3. 间接平差法(参数平差法) 4. 附有限制条件的间接平差 5. 附有条件的条件平差（综合平差模型） 1. 条件平差法 一般而言，如果有n个观测值，必要观测个数为t，则应列出r=n-t个条件方程，即 如果条件方程为线性形式，则可以直接写为 将 代入，并令