蒲丰投针问题.doc

蒙特卡罗方法概述 § 8.2 引例：蒲丰投针问题 在用传统方法难以解决的问题中，有很大一部分可以用概率模型进行描述．由于这类模型含有不确定的随机因素，分析起来通常比确定性的模型困难．有的模型难以作定量分析，得不到解析的结果，或者是虽有解析结果，但计算代价太大以至不能使用．在这种情况下，可以考虑采用Monte Carlo方法。下面通过例子简单介绍Monte Carlo方法的基本思想． Monte Carlo方法是计算机模拟的基础，它的名字来源于世界著名的赌城——摩纳哥的蒙特卡洛，其历史起源于1777年法国科学家蒲丰提出的一种计算圆周的方法——随机投针法，即著名的蒲丰投针问题。这一方法的步骤是： 1)????? 取一张白纸，在上面画上许多条间距为d的平行线，见图8.1(1) 2)????? 取一根长度为的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n次，观察针与直线相交的次数，记为m 3）计算针与直线相交的概率． 由分析知针与平行线相交的充要条件是 其中 建立直角坐标系,上述条件在坐标系下将是曲线所围成的曲边梯形区域，见图 8．l（2）． 由几何概率知 4）经统计实验估计出概率由(*)式即 Monte Carlo方法的基本思想是首先建立一个概率模型，使所求问题的解正好是该模型的参数或其他有关的特征量．然后通过模拟一统计试验，即多次随机抽样试验（确定m和n），统计出某事件发生的百分比．只要试验次数很大，该百分比便近似于事件发生的概率．这实际上就是概率的统计定义．利用建立的概率模型，求出要估计的参数．蒙特卡洛方法属于试验数学的一个分支． ************************************************************************* 提示：设x是一个随机变量，它服从区间[０，d/2]是的均匀分布，同理，是一个随机变量，它服从区间上的均匀分布。按照某种抽样法，产生随机变量的可能取值，例如进行n次抽样，得到样本值，统计出满足不等式 的次数m(mn),从而可以计算出p的估计值． **************************************************************************** 使用MATLAB语言编程实现(4.m) l=1 d=2； m=0； for k＝l：n x＝unifmd（0，d／2）； p＝unifmd（0，pi）； if m=m＋1 elsc end end p=m/n pi_m=1/p 运行，取n=1000,simu4回车，即得结果 *************************************************************************** 想：1）在上述的程序中任意调整n的取值，会发现什么规律？ 2）参数 l，d的不同选择，会导致什么结果？ *************************************************************************** 蒙特卡洛方法适用范围很广泛，它既能求解确定性的问题，也能求解随机性的问题以及科学研究中的理论问题．例如利用蒙特卡洛方法可以近似地计算定积分，即产生数值积分问题． 任意曲边梯形面积的近似计算 一个古老的问题：用一堆石头测量一个水塘的面积．应该怎样做呢？测量方法如下：假定水塘位于一块面积已知的矩形农田之中．如图8．2所示．随机地向这块农田扔石头使得它们都落在农田内．被扔到农田中的石头可能溅上了水，也可能没有溅上水，估计被“溅上水的”石头量占总的石头量的百分比．试想如何利用这估计的百分比去近似计算该水塘面积？ 结合图8．2中的图形(1)分析，只要已知各种参数及函数（a，b，H，f(x)），有以下两种方法可近似计算水塘面积． 1．随机投点法 1）赋初值：试验次数n=0，成功次数m=0；规定投点试验的总次数N； 2）随机选择m个数对，其中，置 n＝n＋l； 3）判断，若是，转4，否则停止计算； 4）判断条件(表示一块溅水的石头)是否成立，若成立则置m=m+1，转2，否则转2； 5）计算水塘面积的近似值． 2．平