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第9讲 命题与逻辑联结词 计算机专业基础课程 PowerPoint Template_Sub 逻辑学是一门非常古老的学科，到现在已经有了两千多年的历史。古典逻辑学主要起源于古希腊学者亚里士多德的逻辑学说，他的《工具论》是古代一部最完备的逻辑学著作。 古典逻辑学的基本特点是用自然语言描述对逻辑的研究，而一旦超出这个范围，引入数学的方法来研究逻辑，就产生了远远优于古典逻辑学的现代逻辑学。 数理逻辑也称符号逻辑，是现代逻辑学研究的主体部分，是一门运用数学方法研究思维规律的学科。将推理变成数学演算，是数理逻辑的指导思想，并且已经成为这门学科的主要特征 。 数理逻辑是用形式化(符号化)方法来研究推理的科学。 PowerPoint Template_Sub 侦探调查了罪案的四个证人。从证人的话侦探得出的结论是： 如果男管家说的是真话，那么厨师说的也是真话； 厨师和园丁说的不可能都是真话； 园丁和杂役不可能都在说谎 如果杂役说真话，那么厨师在说谎 侦探能判断这四个证人分别是在说谎还是在说真话吗？ 推理的例子 -*- 第9讲 命题与逻辑联结词 PowerPoint Template_Sub 1 命题与逻辑联结词 2 逻辑等价式和逻辑蕴涵式 3 范式 4 证明技术（补充） 命题与逻辑联结词 《离散数学》第9讲 Page 27 to 33 -*- 第9讲 命题与逻辑联结词 内容提要 命题的概念 断言与命题、命题真值表示 原子命题和复合命题、命题常元、命题变元 逻辑联结词 ┐ 、∧ 、∨ 、→ 、? 命题公式 公式的归纳定义 指派 自然语句的形式化 -*- 第9讲 命题与逻辑联结词 命题 (proposition或statement) 断言(affirmation)：是一个表示判断的陈述句 命题：是一个有确定真假值的断言 或是真，或是假，但二者不能得兼（排中律） 真、假常被称为命题的真值 用大写的英文字母T或“1”表示命题真值是“真的” F或“0”表示命题的真值是“假的” -*- 第9讲 命题与逻辑联结词 命题举例 雪是白的 半径为1的圆的面积为2π 2是偶数且3也是偶数 陈胜起义那天杭州下雨 大于2的偶数均可以分解为两个质数的和 数学多美啊! X+Y=4 “我正在说谎。” 他学习好并且身体好 √ √ √ √ √ × × × × -*- 第9讲 命题与逻辑联结词 原子命题和复合命题 命题常元和变元 命题变元指一个未确定真值的任意命题，其值在{0,1}上变化 命题常元指一个有确定真值的固定命题 原子命题：一个不能再分解成更简单语句的命题 原子命题是最简单的陈述句 原子命题通常记为p、q、r等小写字母，f表示恒假命题，t表示恒真命题 相对于原子命题的是复合命题，它是由原子命题通过逻辑联结词进行适当的组合而成的 复合命题的真值不仅依赖于这两个组成它的命题，而且还依赖于这个联结词的意义 -*- 第9讲 命题与逻辑联结词 举例 p：明天下雪；q：明天下雨 利用联结词“不”、“或”、“且”等可分别构成新命题： “非p”：明天不下雪 “p或q” ：明天要么下雪，要么下雨 “p并且q”：明天下雨雪 -*- 第9讲 命题与逻辑联结词 常用5个逻辑联结词 否定词(negation) ：┐P，“P不成立”、“并非P” 否定词是一元运算。 否定的是整个命题，并不是否定命题中个别的词。 P ┐P 0 1 1 0 真值表 “A和B都大于0”的否定： “A和B都不大于0” “A和B不都大于0” “A和B至少有一个不大于0” “A和B至少有一个小于等于0” “A大于0”的否定： “A不大于0” “A小于等于0” -*- 第9讲 命题与逻辑联结词 常用5个逻辑联结词 合取词(conjunction) ：p∧q， “p并且q”、“p和q都成立” 合取词是二元运算 只有当p和q均为真时，p∧q才是真的，否则，p∧q是假的 ∧是可交换的 p q p ∧ q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p:今天是星期三； q:今天上离散数学课； p ∧q：今天是星期三并且上离散数学课； -*- 第9讲 命题与逻辑联结词 常用5个逻辑联结词 析取词(disjunction) ：p∨q，“p成立或者q成立”、“p或q” 析取词是二元运算 只有当p和q的真值均为假时， p∨q才是假的，否则， p∨q总是真的 p q p ∨ q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 p:我上午上离散数学； q:我上午上操作系统； p ∨ q：我上午或者上离散数学，或者上操作系统； p:我上午一二节课上离散数学； q:我上午一二节课上操作系统； p ∨ q：我上午一二节课要