均值定理专题归纳与训练.doc

均值不等式的应用 一．均值不等式 1.（1），则 (2)若，则（当且仅当时取“=”） 2. (1)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”） (3)若，则 (当且仅当时取“=”） 3.若，则 (当且仅当时取“=”）;若，则 (当且仅当时取“=”） ; 若，则 (当且仅当时取“=”） 4.若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”） 5.若，则（当且仅当时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 (1)y＝3x 2＋ （2）y＝x＋ 技巧一：凑项 例2：已知，求函数的最大值. 技巧二：凑系数 例3. 当时，求的最大值. 变式：设，求函数的最大值. 技巧三： 分离 例4. 求的值域. 技巧四：换元 求的值域. 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。例5：求函数的值域. 练习．1.求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （2） (3) 2．已知，求函数的最大值.；3．，求函数的最大值. 条件求最值 1.若实数满足，则的最小值是 . 变式：若，求的最小值.并求x,y的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。 2：已知，且，求的最小值。 变式：（1）若且，求的最小值 ( 2 ) 已知且，求的最小值 技巧七、已知x，y为正实数，且x 2＋＝1，求x的最大值. 技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝ 变式：1.已知a0，b0，ab－(a＋b)＝1，求a＋bx＋＋的最值. 变式: 求函数的最大值。 应用二：利用均值不等式证明不等式 1．已知为两两不相等的实数，求证： 2. 正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)，且。求证： 应用三：均值不等式与恒成立问题 例7：已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。 应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例8：若，则的大小关系是 . 均值不等式的应用 一．均值不等式 1.（1），则 (2)若，则（当且仅当时取“=”） 2. (1)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”） (3)若，则 (当且仅当时取“=”） 3.若，则 (当且仅当时取“=”）;若，则 (当且仅当时取“=”） ; 若，则 (当且仅当时取“=”） 4.若，则 (当且仅当时取“=”） 若，则 (当且仅当时取“=”） 5.若，则（当且仅当时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y＝3x 2＋ （2）y＝x＋ 解：（1）y＝3x 2＋≥2＝ ∴值域为[，+∞） （2）当x＞0时，y＝x＋≥2＝2；当x＜0时， y＝x＋= －（－ x－）≤－2=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例2：已知，求函数的最大值。 解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项， ， 当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例3. 当时，求的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。 当，即x＝2时取等号 当x＝2时，的最大值为8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式：设，求函数的最大值。 解：∵∴∴ 当且仅当即时等号成立。 技巧三： 分离 例4. 求的值域。 解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。 当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）。 技巧四：换元 解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。 当,即t=