实用下料问题.doc

实用下料问题 ?武汉大学 冯姝瑜 王光明 张剑 “下料问题(cutting stock problem)”是把相同形状的一些原材料分割加工成若干个不同规格大小的零件的问题，此类问题在工程技术和工业生产中有着重要和广泛的应用. 这里的“实用下料问题”则是在某企业的实际条件限制下的单一材料的下料问题。 现考虑单一原材料下料问题. 设这种原材料呈长方形，长度为,宽度为，现在需要将一批这种长方形原料分割成种规格的零件, 所有零件的厚度均与原材料一致，但长度和宽度分别为，其中wi＜. 种零件的需求量分别为.下料时，零件的边必须分别和原材料的边平行。这类问题在工程上通常简称为二维下料问题。特别当所有零件的宽度均与原材料相等，即，则问题称为一维下料问题。 一个好的下料方案首先应该使原材料的利用率最大，从而减少损失，降低成本，提高经济效益。其次要求所采用的不同的下料方式尽可能少，即希望用最少的下料方式来完成任务。因为在生产中转换下料方式需要费用和时间，既提高成本，又降低效率。此外，每种零件有各自的交货时间，每天下料的数量受到企业生产能力的限制。因此实用下料问题的目标是在生产能力容许的条件下，以最少数量的原材料，尽可能按时完成需求任务, 同时下料方式数也尽量地小。现在我们要为某企业考虑下面两个问题。 1．建立一维单一原材料实用下料问题的数学模型, 并用此模型求解下列问题，制定出在生产能力容许的条件下满足需求的下料方案, 同时求出等额完成任务所需的原材料数，所采用的下料方式数和废料总长度. 单一原材料的长度为 3000mm, 需要完成一项有53种不同长度零件的下料任务. 具体数据见表一(略)，其中 为需求零件的长度，为需求零件的数量. 此外，在每个切割点处由于锯缝所产生的损耗为5mm. 据估计，该企业每天最大下料能力是100块 ，要求在4天内完成的零件标号()为: 5,7,9,12,15,18,20,25, 28,36,48；要求不迟于6天完成的零件标号()为:4,11,24,29,32,38,40,46,50。 2．立二维单一原材料实用下料问题的数学模型, 并用此模型求解下列问题.制定出在企业生产能力容许的条件下满足需求的下料方案, 同时求出等额完成任务所需的原材料块数和所需下料方式数.这个问题的单一原材料的长度为 3000mm,宽度为100mm, 需要完成一项有43种不同长度和宽度零件的下料任务. 具体数据见表二(略)，其中 分别为需求零件的长度、宽度和数量. 切割时的锯缝可以是直的也可以是弯的，切割所引起的锯缝损耗忽略不计.据估计，该企业每天最大下料能力是20块 要求在4天内完成的零件标号()为: 3,7,9,12,15, 18, 20, 25, 28, 36. 二．问题的分析 在生产实践中，经常会遇到如钢材、木材等条型材的下料问题，即如何根据原材料的长度、零件的尺寸以及需求量确定出使原材料消耗最少的最优下料方案。本题要求：在生产能力容许的条件下，以最少数量的原材料，尽可能按时完成需求任务, 同时下料方式数也尽量地小。 对于一维下料问题，首先我们必须找出全部可行的下料方式；然后才能确定下料方式作为决策变量和形式约束条件的结构系数，这样才能建立优化决策模型，通过计算机编程计算得到我们所需要的最优下料方案。考虑到这里是单一原材料下料问题，这大大减少了下料方式；但由于零件的种类有53种之多，因此下料方式仍然很多，计算量很大，所以在建立优化模型的基础上，我们需要找到比较合适的算法来解决这类实际问题。近年来，国内外关于这方面的研究比较活跃，并涌现出了不少近似算法，如Gilmore与Gomory用线性规划建立的一刀切问题的数学模型；Dyckhoff提出的线性规划方法以及Sarker提出的动态规划方法等。由于下料问题属于布局问题，不同于一般的数值性优化,近年又出现应用遗传算法来求解下料优化问题。我们力图建立一种实用的模型——多目标整数规划模型[1] [2][7]，并提出一种新的优化思想方法——启发式多层次逐层优化方法，解决此问题；同时与其他的求解方法进行比较。 对于二维下料问题，我们采用分类层次分析法；由于原材料的长度为3000mm，宽度为100mm，而43种零件的长度最小的为155mm，这样就不会出现零件的长边在原材料的宽边上切割的情况，也就是说零件的长边都是顺着原材料的长边切割的。考虑到零件的宽有20，30，35，50（mm）这4种规格，为了尽量节省材料，我们应该使原材料在宽边上尽量利用完全，这样只有几种宽边完全利用的组合方式（5种），分别为：50-50，50-30-20， 30-30-20-20，35-35-30，20-20-20-20-20。我们把零件按宽边的规格分为4类（20，30，35，50）