自动控制理论课件7-3.ppt

7.4 离散系统的数学模型 7.4.1 线性常系数差分方程及其求解 7.4.2 脉冲传递函数 7.4.3 离散系统的结构图化简 为了便于对离散系统进行分析和校正，首先需要建立离散系统的数学模型。 描述连续系统的动态过程 微分方程 传递函数 结构图 描述离散系统的动态过程 差分方程 脉冲传递函数 结构图 1.差分的定义 设连续函数为e(t),采样后为e(kT),通常为方便起见，记为 差分可分为前向差分和后向差分两种。 定义： 一阶前向差分 二阶前向差分 n阶前向差分 一阶后向差分 二阶后向差分 n阶后向差分 2.线性常系数差分方程的一般形式 对于输入、输出均为采样信号的线性定常离散系统，动态方程除了含有输入输出变量外，还有它们的各阶差分，则此方程为差分方程。差分方程分为前向差分方程和后向差分方程。 前向差分方程： 为常系数, 为输入信号， 为输出信号，且有 式中： 后向差分方程： 注意：差分方程的阶次是输出量差分的最大阶次减去最小阶次。 3.建立差分方程的方法 实际的离散控制系统中，被控对象是连续的物理系统，而数字控制器输出的信号是离散的。系统中的连续部分一般由微分方程或传递函数来描述，为了分析方便，需要通过离散化方法建立系统的差分方程。由连续系统的微分方程求差分方程时，若采样周期足够小，就可以用差分近似表示微分来实现离散化。 用前向差分近似表示微分 用后向差分近似表示微分 例7-20 已知系统的微分方程为 求离散后的前向差分方程。 解： 代入微分方程，有 整理后得 4. 差分方程的求解方法 迭代法：已知差分方程的输入采样序列、输出采样序列的初值， 利用差分方程的递推关系，逐步求出输出采样序列。 初始条件 试用迭代法求输出序列 例7-21 已知离散系统的差分方程为 ，且输入序列 解： 差分方程的递推关系为 由初始条件 递推得到 Z变换法：通过Z变换将时域中的差分方程转化为z域中的代数方程，求出代数方程的解，再经Z反变换获得方程的时域解。 例 用Z变换法解差分方程： c(k+2)+3c(k+1)+2c(k)=0 初始条件c(0)=0,c(1)=1,求c(k)。 解： 对方程两边进行Z变换 代入初始条件并化简 将C(z)/z展开部分分式： 例7-22 离散系统的差分方程为 已知输入序列 ,初始条件c(0)=c(1)=0,求输出响应c(k)。 解： 对前向差分方程两边进行Z变换，得到 ，且初始条件为零 ，得到 求得 线性定常离散系统的脉冲传递函数定义为：零初始条件下系统输出采 样信号的Z变换与输入采样信号的Z变换之比。 也可记为 脉冲传递函数为 已知系统的脉冲传递函数G(z)和输入采样信号的Z变换 R(z)，在初始条件为零时的输出采样信号为 1. 脉冲传递函数定义 对于大多数实际系统来说，其输出往往是连续信号c(t)而不是采样信号C*(t)。这时，无法求脉冲传递函数。 在这种情况下，我们可以在输出端虚设一个采样开关，它与输入端采样开关一样，以周期T同步工作。 如果系统的实际输出比较平滑，在采样点处无跳变，且采样周期很小，那么我们就可以用c*(t)来近似描述系统的实际输出c(t)。可见，用脉冲传递函数分析系统，只能给出实际输出c(t)在采样时刻的值。 说明： 2. 采样函数拉氏变换的两个重要性质 性质1 采样函数的拉氏变换具有周期性，即 其中， 为采样角频率。 有 令 由采样函数的拉氏变换 证明： 性质2 采样函数的拉氏变换 与连续函数的拉氏变换 相乘后再离散化，有下式成立 由性质1 证明： 由采样函数的拉氏变换 3. 关于脉冲传递函数的几点讨论 和 之间的关系 和单位脉冲响应 之间的关系 与离散系统的差分方程之间的关系 差分方程为 4. 求脉冲传递函数的方法 （1）已知连续系统的单位脉冲响应 ，利用 ， 求出 。 （2）已知连续系统的传递函数 ，化成部分分式并查表求出 （3）已知系统的差分方程，在初始条件为零的情况下进行Z变换求 例 系统结构如图，其中连续部分传递函数 ， 试求该开环系统的脉冲传递函数 。 解： 将 用部分分式表示 也可由 直接查表得到，结果相同。 离散序列 根据离散系统结构图可以求系统的脉冲传递函