河流水质纵向弥散系数的频域反演.doc

河流水质纵向弥散系数的频域反演 李　兰(武汉水利电力大学) 　　摘　要　本文考虑水质参数随空间变化的特点，建立了河流水质纵向弥散系数反演模型，给出频域反演计算模式.为了检验计算精度，推导出时域数据的频域转换公式，最后给出计算实例.本文提出的参数反问颗模型和分布参数辨识方法不仅适用于河流，也适用于水库和湖泊的分布参数辨识.　　关键词　水质模拟，分布参数，弥散系数，频域反演. 1　纵向弥散系数的频域反演模型　　污染物质在水体中的输移、转化、累积过程，可采用偏微分方程来描述，对于均匀混合的河流，常采用一维水质方程进行描述.由于分子扩散、紊动扩散远小于由于断面内流速分布不均引起的剪切离散，一般不考虑扩散系数Dx，常用纵向弥散系数Ex表征因断面脉动平均流速分布不均引起的混合过程.Ex与流速、水深、断面面积，污染物浓度分布的关系密切，这些水力、水质要素是距离x的函数，因此合理确定分布参数Ex值必将改善模型的精度.　　对于河流中可降解有机物的水污染问题，可提出同时求解浓度场c(x,t)和E(x) 反问题模型如下：　　　　　　　　　　　　　　　　(1)　　　　　　c(0,t)=f(t) t∈［0,t］ c(x,0)=φ0(x) x∈［0,1］,　　　(2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3)作者在此选定附加条件为：　　　　　　　c(l,t)=g(t), t∈［0,T］.　　　　　　　　　　　　　　(4)其中g(t)为下游断面的可测函数，并在tj有实测值，j=1,2,…,m,u为实测流速，E(x)为E关于空间x的函数，简称Ex.方程组(1)～(4)构成了对可降解有机物求函数偶解(E(x)，c(x,t))的一维对流扩散反问题模型.根据附加条件要求有一定的同步水质监测资料，这是水质模拟还原检验都必需的基本资料，本文提出的反问题模型没有增加任何新的资料要求. 2　纵向弥散系数的频域反演　　计算分布参数不能用已发展的求解正问题的一系列算法来直接求解，而要研究专门方法来演算.对于偏微分方程，只要稍作改变，或边界条件和附加条件有稍许差别，都需要重新推导计算求解公式.　　1974年Tsien和Chen为识别一维流体动力学中的理论速度提出了脉冲谱技术(Pulse-Spectrum Technique,简记为PST)，这是求解相当广泛一类反问题行之有效的迭代方法，PST基本思想是借助于Fourie变换(或Laplace变换)将时域中的问题转化为频域中的问题其信息在时域中获得，求解却在频域中进行.PST方法已较成功地应用于波动方程和热传导方程等有关的工程反问题中.　　首先将上述反问题模型取Laplace变换：　　　　　　　　　　现在我们先对频域式(5)取离散差分格式，然后采用PST方法推导其反演公式.　　在区域［0，1］上建立均匀网格.取xi=ih,i=0,1,…,N,其中h为x方向的步长，h=1/N，下面对式(5)选择隐式差分格式：　　设Eη,cη始终满足下述的迭代公式：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(8)且有：　　　　　　为进行数值计算，取S为一系列离散值Sj,j=0,1,2,…，M，将Si和式(8)代入差分方程式(7)，得i对应的正问题：　　　　　　　　　　　　　　　i=1,2,…,N; j=1,2,…,M和δEηi对应的反问题：　　　　将单位脉冲函数Dirac δ函数取离散值有：　　　　　　　　　　　对每个ξ，格林函数Giξ(S)满足差分方程：　　取p=l，并利用附加条件，由式(10)和式(11)可得到下式：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(i=0,1,2,…,N-1.)　　　　　　　　　　　　　　　(12)其中：　　　　　　　　　令　.D=(d1,d2,…,dM)T,V=(δEη1,δEη2,…,δEηN)T.　　写成矩阵形式：　　　　　　　　　　　A*V=D,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(13)为得到式(13)的稳定近似解，取对应的正则方程为：　　　　　　　　　　(ATA+aG)V=ATD,　　　　　　　　　　　　　　　　　(14)其中，a为光滑参数，G为光滑矩阵，由式(14)可得到δEηi的稳定解.将δEηi代入式(8)中可求出Eηi，这样就完成了一次迭代循环. 3　数据的频域变换公式　　由于计算将在频域中进行，因此相应的数据也必须是频域的数据.本节将推导离散数据的Z变换和Laplace变换的相互转换关系式.3.1　离散数据的Z——变换　实际的离散信号的来源大部分是连续时间和空间信号的采样，水质数据采样获得的也是离散数据.另外，反问题计算比正问题复杂，而且计算量大，需通过计算机根据离散数据完成计