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泛函分析期中课程论文 泛函分析是一门非常有用的学科，主要涉及赋范空间，有界线性算子、泛函、内积空间、泛函延拓、一致有界性以及线性算子的谱分析理论等内容。现在主要总结第七章和第八章的知识体系。 度量空间是现代数学中一种基本的、重要的抽象空间，设为一个集合，若对中任意两个元素，都有唯一确定的实数对与之对应，而且这一对应关系满足下列关系：（I）,且当且仅当；（II），则称是度量空间，常见的度量空间有：（1）n维度量空间；（2）离散的度量空间；（3）序列空间S；（4）有界函数空间B（A）；（5）可测函数空间m()；（6）Ｃ空间；（7）。 一、度量空间的极限、稠密集、柯西点列 1、度量空间中的极限：设是中点列，如果存在，使，则称点列是中的收敛点列，是点列的极限，设是度量空间中的点集，如果中任何收敛点列的极限都在中，那么称是闭集。2、稠密集：设是度量空间，和是中两个子集，令表示的闭包，如果，那么称集在集中稠密，当时称为的一个稠密子集。3、柯西点列：设是度量空间中的点列，若，NN,使当m,n＞N时，有，称是度量空间中的柯西点列。 二、下面总结五种重要的度量空间： 1、可分空间：如果度量空间有一个可数的稠密子集，则Ｘ是可分空间，常见的可分空间有：（1）n维度量空间，（2）可数的离散度量空间。 2、完备度量空间：若中的任一Cauchy列都在中收敛，则度量空间是完备的度量空间。常见的完备度量空间有：（1）（2）（3），不是完备度量空间的有：，相关的定理有：（1）完备度量空间的子空间是完备空间的充要条件为是中的闭子空间 2、线性空间：设是一非空集合，若中的元素满足（1）关于加法成为交换群；（2）对于中每个元素，存在，满足1） 2） 3）则称Ｘ按上述加法和数乘运算成为线性空间；常见的线性空间有：1） 2） 3）空间 3、赋范线性空间：设X是数域K上的线性空间，若，都有一个实数||||与之对应，使得,，αK，且满足（１）||||≥0，||||=0x=0；（２）||αx||=|α| ||||；（３）||||≤||||+||||，则称||||为的范数，按范数||||成为赋范线性空间。常见的赋范线性空间：1）； 2）空间； 3）空间，重要的定理有： 1）当中范数成为赋范线性空间；2）设是n维赋范线性空间，是的一组基，则存在常数和，使得对一切成立， 5、巴拿赫空间：完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。两个重要的巴拿赫空间是：1）空间 2）空间 ，重要的推论有：1） 设在有限维线性空间上定义了两个范数和那么必存在常数和，使得；2）任何有限维赋范线性空间都和同维数欧氏空间拓扑同构，相同维数的有限维赋范线性空间彼此拓扑同构。 三、连续映射、压缩映射、巴拿赫不动点定理（压缩映射定理） 1、连续映射：设 是度量空间到度量空间=中的映射，那么在X连续的充要条件为当时，必有；2、压缩映射：当是到的一个自映射，若存在常数（0＜＜1），使对, ，有T,T）≤(, ),则称为上的压缩映射。重要定理： 1)设函数在带状域中处处连续，且处处有关于的偏导数，如果还存在常数和，满足则方程在区间上必有唯一的连续函数 3、巴拿赫不动点定理（压缩映射定理）：设是完备的度量空间，是上的压缩映射，那么有且只有一个不动点（就是说，方程=有且只有一个解）； 四、线性算子、有界线性算子和连续线性泛函 1、线性算子：假设和是两个同为实的线性空间，D是的线性子空间，是D到中的映射，如果对任何D及，有，,则称为D到中的线性算子。2、有界线性算子和连续线性泛函：设和是两个赋范线性空间，是的线性子空间D（Ｔ）到中的线性算子，如果存在常数Ｃ，使对所有，则称是到中的有界线性算子。重要性的定理有：１）设是赋范线性空间到赋范线性空间中的线性算子，则为有界算子的充要条件为是上的连续算子；２）若是赋范线性空间，是上线性泛函，那么是上连续泛函的充要条件为的零空间是中的闭子空间。 五、有界线性算子空间和共轭空间 1、有界线性算子空间：设和是两个赋范线性空间，以表示到中有界线性算子全体，当属于，是所讨论的数域中的数时，定义中加法运算及数乘运算：对任意，则按上述线性运算及算子范数成为赋范线性空间。2、共轭空间：设是赋范线性空间，令表示X上连续线性泛函全体所成的空间，称为X的共轭空间。常见的例子：1）的共轭空间是；2）的共轭空间是，其中。重要的定理有：1）当是巴拿赫空间时，也是巴拿赫空间；2）任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间 下面将列举泛函分析中巴拿赫不动点定理，也就是压缩映射定理在其他学科中的应用，首先再次回顾这个定理： 1、压缩映射：当是到的一个自映射，若存在常数（0＜＜1），使对, ，有T,T）≤(, ),则称为上的压缩映射。 2、定理1：巴拿赫不动点定理（巴拿赫不动点定理）：设是