抛物线经典例题.docVIP

抛物线习题精选精讲 （1）抛物线——二次曲线的和谐线 椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章. 【例1】P为抛物线上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴（ ） 相交 相切 相离 位置由P确定 【解析】如图，抛物线的焦点为，准线是 .作PH⊥于H，交y轴于Q，那么， 且.作MN⊥y轴于N则MN是梯形PQOF的 中位线，.故以 PF为直径的圆与y轴相切，选B. 【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则 分别是相离或相交的. （2）焦点弦——常考常新的亮点弦 有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的. 【例2】 过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点，求证： （1） （2） 【证明】（1）如图设抛物线的准线为，作 ， .两式相加即得： （2）当AB⊥x轴时，有 成立； 当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：.代入抛物线方程： .化简得： ∵方程（1）之二根为x1，x2，∴. . 故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有成立. （