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第七章实数的完备性习题解答
第7章 实数的完备性
§7.1 实数完备性的基本定理
一 基本内容
实数连续性的基本定理有7个.
1 戴德金分划 任一有理分划必确定一个实数.
2 确界原理 有界数集必有确界.
3 单调有界定理 有界的单调数列必有极限.
此定理可分为两个部分,即
(1) 数列单调上升且有上界,则必有极限;
(2) 数列单调下降且有下界,则必有极限.
4 区间套定理
若闭区间列满足
(1) ;
(2) ,
则称这列闭区间列为闭区间套,简称区间套.
在区间套中,端点满足
.
即由左端点构成的数列单调上升有上界;由右端点构成的数列单调下降有下界.
定理1 (区间套定理) 若闭区间列为区间套,则
.
5 柯西收敛准则
数列收敛
.
6 聚点原理
定义2 设S是直线上的点集,是一定点.如果,
有无穷多个点,则称为点集S的聚点.
等价定义:为点集S的聚点.
定理3(维尔斯特拉斯聚点原理) 有界无限点集必有聚点.
推论(致密性定理) 有界数列必有收敛的子列.
7 有限覆盖定理
设S是直线上的点集,H为一开区间集,如果
,
则称H为S的一个开覆盖,或称H覆盖S.
若H中的开区间是无限个,则称H为S的一个无限开覆盖;
若H中的开区间是有限个,则称H为S的一个有限开覆盖.
定理4 (波雷尔有限覆盖定理) H为闭区间[a, b]的一个开覆盖,则在H中存在有限开覆盖覆盖[a, b] .
以上介绍的7个定理是等价的,即从其中任一个定理出发,都可以推出其余的6个定理.
二 习题解答
1 验证数集有且只有两个聚点和.
解:设,则,
,,
所以和是的聚点.又,取
,
则,,所以非的聚点,故有且只有两个聚点和.
2 证明:任何有限数集都没有聚点.
证:设为有限点集,则,,
,
故结论成立.
3 设是一个严格开区间套,即满足
,
且.证明:,.
证:作闭区间,则由闭区间套定理知,,
.
今只须证明或,即可.
如果,则时,
,
此与矛盾,所以,同理,故
.
4 试举例说明:在有理数集内,确界原理、单调有界定里、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立.
解:取,则在上有界,但无上、下确界;取,则,且单调上升有上界,但在内极限不存在.取,则为无穷点集,但在内无聚点.取,则满足柯西收敛的条件,但在上发散.
5 设.
(1) 能否覆盖?
(2) 能否从中选出有限个开区间覆盖
.
解:(1) 能覆盖.实因:,则,于是
,
即,故.
(2) 不能从中选出有限个开区间覆盖.
假设在中能选出有限个开区间覆盖,则这有限个开区间左端点必存在最小者.设左端点的最小者为,取,则不被选出的有限个开区间覆盖,此与假设矛盾,故不能从中选出有限个开区间覆盖.
能从中选出有限个开区间覆盖.取,则
.
6 证明:闭区间的全体聚点的集合是本身.
证:,则,,即为的聚点,由的任取性知中的所有点都的聚点.又设为的聚点,假设,取
,
则,此与为的聚点矛盾,故,由的任意性知的所有聚点都在中.
综上,的聚点集就是本身.
7 设为单调数列.证明:若存在聚点,则必是唯一的,且为的确界.
证:不妨设单调上升,因存在聚点,则必有上界.否则,于是,中小于的项至多只有有限项,此与存在聚点矛盾.
由确界定理知,必有上确界,设的上确界为,则
,
而时,,即,故.由极限的唯一性知结论成立.
8 试用有限覆盖定理证明聚点定理.
证:设为有界无穷点集,则
.
假设中的点都不是的聚点,则
,为有限点集”.
而,所以由有限覆盖定理知
,,
又 只有有限个点,而有无穷个点,矛盾.所以必有聚点.
9 试用聚点定理证明柯西收敛准则.
柯西收敛准则:
收敛.
证:设收敛于,则
,
于是时,,故必要性得证.
设满足
,
于是取,因定,则时,,即
,
取,则,即有界.由致密性定理(聚点原理的推论)知,
必有收敛的子列,令,则就柯西条件中的,
于是时,,故收敛.
§7. 2 闭区间上连续函数性质的证明
一 基本内容
性质1 (有界性) 如果在上连续,则在上有界.
即在上连续,
.
性质2(最值性) 如果在上连续,则在上有最大值、最小值.即
.
性质3(零点存在性) 如果在上连续,且
,
则 .
注意:此性质只给出存在性,没有唯一性.
性质4(介值性) 如果 f (x)在[a, b]上连续,且 f (a) ≠ f (b) ,则 介于之间,,
即介于 f (a)、f (b)之间的任一数μ在f下都有原象.介值性定理指出,函数 f (x)的值域为[ m, M ],其中
,.
性质5 (一致连续性) 若f (x)在[a, b
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