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第七章 方差分析 第一节 方差分析的意义 3个以上平均数间的差异进行显著性检验，若仍采用t检验法两两检验，将存在以下三方面的缺陷： 其一，检验过程非常烦琐。 其二，不能充分利用试验资料的全部信息，精度不高。 其三，随着k的增大，犯第一类错误的概率也将增加。 第二节 方差分析的步骤 一、 自由度和平方和的分解 方差是平方和除以自由度的商。因此，方差分析的第一步就是进行自由度和平方和的分解。 设有k个处理，每个处理皆含有n个重复观察值的完全随机试验资料，其数据结构见表7.1。 表7.1 k个处理每处理n个重复观察值的完全随机试验数据符号表 表7.1 nk个观察值的单向分组资料模式 总变异平方和 总变异是nk个观察值的变异， 受条件 的限制，自由度为nT=nk-1 总变异平方和可以分解为处理内和处理间两个部分 处理内（即误差）变异为各处理内观察值与处理平均数的变异，因每处理具有自由度（n – 1）和平方和 而资料共有k个处理，故处理内自由度为： dfe=k(n – 1) 处理内平方和SSe为： 处理平均数间的平方和 具自由度nt=k-1,注意 为了正确地进行F测验，必须使它们都估计着同一参数s2,。因而，样本间的平方和应为： 总变异的=处理间的+处理内的 平方和 SST = SSt + SSe 自由度 (nk-1) = (k-1) + k(n-1) 进而得： 样本间的均方 样本内的均方 〔例7.1〕研究A、B、C、D、E共5个饲草品种的鲜草产量差异，E为对照，盆栽试验，每品种3盆，完全随机放置于同一网室内。以对照E孕穗期作为刈割日期，测得各品种单株鲜重（g）见表7.2，试分解其自由度和平方和。 表7.2 不同饲草品种单株鲜重的结果(g) 解： 总变异自由度dfT=nk-1=3(5-1=14 处理(品种)间自由度dft=k-1=5-1=4 品种内(误差)自由度dfe=k(n-1)=5((3-1)=10 矫正数 处理（品种）间平方和 品种内（误差）平方和 进而可得： 总变异均方 品种间均方 品种内均方 二、 F检验 方差分析中的F检验主要用于检验某项变异因素的效应或方差是否真实存在，是一尾F检验。因此在计算F值时，必须以要检验项变异因素的均方作分子，以另一项变异（例如试验误差项）的均方作分母。 此比法与方差分析模型和各项变异来源的期望均方有关。在此类检验中，所检验的统计假设 如果作分子的均方小于作分母的均方，则F＜1，可以不必查F表即可确定P＞0.05，接受H0。 〔例7.2〕〔例7.1〕已算得品种间均方 品种内均方 具自由度df1=4，df2=10。试检验品种间变异是否显著大于品种内（即误差）变异？ 解： ①假设 或H0：(A= ( B= ( C= ( D= ( E； 或 HA： ( A、 ( B、 ( C、μD和( E间存在差异， (( A、 ( B、 ( C、 ( D和( E间不“完全相等”) ②显著水平分别取(=0.05和(=0.01。 ∵st2(试验误差+处理效应差异 se2(试验误差 ∴ st2/ se2≤1，说明无处理效应； 1，说明可能有处理效应； F?，说明处理效应显著存在。 因此要测验H0，必需使F= st2/ se2， ③计算 本例 查F分布右尾临界值表（附表5）：当df1=4，df2=10时，F0.05(4，10）=3.48，F0.01(4，10）=5.99，实得F＞F0.01(4，10)＞F0.05(4，10)。 ④推断： 即品种间变异在0.01水平上显著大于品种内(即误差)变异，说明不同品种的单株鲜重在0.01水平上有显著差异(P＝2.05×10－)5。 在统计分析过程中，一般将自由度和平方和分解及F检验结果，归纳整理成方差分析表，并在F值右上角用“*”、“**”分别标注=0.05和=0.01的显著性，如表7.3所示。 表7.3 不同饲草品种单株鲜重的方差分析表 三、 多重比较 F检验的结果表明处理间是否存在真实差异。 若FF0.05，则方差分析告一段落； 若FF0.05，就表明各处理间的差异非试验误差所致而是实质性差异.但是F检验无法判定哪些处理间差异达到0.05或0.01显著水平，哪些处理间没有显著差异。要明确