第七章空间解析几何与向量代数.doc

教 学 内 容 批注 §7( 1 向量及其线性运算 一、向量概念 向量? 在研究力学、物理学以及其他应用科学时( 常会遇到这样一类量( 它们既有大小( 又有方向( 例如力、力矩、位移、速度、加速度等( 这一类量叫做向量( 向量的表示法： 在数学上( 用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量( 有向线段的长度表示向量的大小( 有向线段的方向表示向量的方向. 向量的符号? 以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作( 向量可用粗体字母表示( 也可用上加箭头书写体字母表示( 例如( a、r、v、F或( 自由向量? 由于一切向量的共性是它们都有大小和方向( 所以在数学上我们只研究与起点无关的向量( 并称这种向量为自由向量( 简称向量( 因此( 如果向量a和b的大小相等( 且方向相同( 则说向量a和b是相等的( 记为a ( b( 相等的向量经过平移后可以完全重合( 向量的模? 向量的大小叫做向量的模( 向量a、、的模分别记为|a|、、( 单位向量? 模等于1的向量叫做单位向量( 零向量? 模等于0的向量叫做零向量( 记作0或( 零向量的起点与终点重合( 它的方向可以看作是任意的( 负向量： 设a为一向量( 与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量( 记为(a( 教 学 内 容 批注 二、向量的线性运算 1．向量的加法 向量的加法? 设有两个向量a与b( 平移向量b的起点与a的终点重合( 此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和( 记作a+b( 即c(a+b . 三角形法则? 上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则( 平行四边形法则? 当向量a与b不平行时( 平移向量a与b的起点重合( 以a、b为邻边作一平行四边形( 从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a(b( 向量的加法的运算规律? (1)交换律a(b(b(a( (2)结合律(a(b)(c(a((b(c)( 由于向量的加法符合交换律与结合律( 故n个向量a1( a2( ( ( (( an(n (3)相加可写成 a1(a2( ( ( ((an( 并按向量相加的三角形法则( 可得n个向量相加的法则如下( 使前一向量的终点作为次一向量的起点( 相继作向量a1( a2( ( ( (( an( 再以第一向量的起点为起点( 最后一向量的终点为终点作一向量( 这个向量即为所求的和( 向量的减法? 我们规定两个向量b与a的差为 b(a(b(((a)( 即把向量(a加到向量b上( 便得b与a的差b(a( 特别地( 当b(a( 有 a(a(a(((a)(0( 教 学 内 容 批注 显然( 任给向量及点O( 有 ( 因此( 若把向量a与b移到同一起点O( 则从a的终点A向b的终点B所引向量便是向量b与a的差b(a ( 三角不等式? 由三角形两边之和大于第三边的原理( 有 |a(b|(|a|(|b|及|a(b|(|a|(|b|( 其中等号在b与a同向或反向时成立( 例1 设是方向互不相同的向量，试证明依次将它们的终点与起点相连构成一个三角形的充要条件是 2．向量与数的乘法 向量与数的乘法的定义( 向量a与实数(的乘积记作(a( 规定(a是一个向量( 它的模|(a|(|(||a|( 它的方向当(0时与a相同( 当(0时与a相反( 当((0时( |(a|(0( 即(a为零向量( 这时它的方向可以是任意的( 特别地( 当(((1时( 有 1a(a( ((1)a((a( 运算规律? (1)结合律 (((a)((((a)(((()a； (2)分配律 (((()a((a((a； ((a(b)((a((b( 教 学 内 容 批注 向量的单位化? 设a(0( 则向量是与a同方向的单位向量( 记为ea( 于是a ( | a | ea( 向量数乘具有以下运算性质： （1） （2） （3） 向量的加减运算和数乘运算统称为向量的线性运算. 三、向量的共线与共面 向量的平行? 两个非零向量如果它们的方向相同或相反( 就称这两个向量平行( 向量a与b平行( 记作a // b( 零向量认为是与任何向量都平行( 当两个平行向量的起点放在同一点时( 它们的终点和公共的起点在一条直线上( 因此( 两向量平行又称两向量共线( 类似还有共面的概念( 设有k(k(