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第三章 总结与测试 一 主要内容总结 ㈠ 可测集的概念： ⑴ 目标：满足勒贝格测度公里：对于是直线上的一部分集合簇，使得每一个，都对应一个实数，满足 ①非负性；②可列可加性；③正则性 ⑵ 可测集的引入 ① 外测度的定义： 外测度的性质：正则性且，单调性，次可列可加性。 ② Carathéodory 条件及其等价条件： 可测对，成立 对, , 成立。 ③ 可测集的性质（见课本P60-65）：定理1-3等价条件；定理4-7运算性质；定理8-9，关于极限的封闭性；补充定理10-11，关于上、下极限的封闭性； ㈡ 可测集的结构描述（可测集的存在性）： 1、 Borel可测集: 由开集生成的-代数中的元素(集合)。这类集合包含零测度集，区间（开区间、闭区间、半开半闭区间），开集，闭集，型集，型集等等。 2、 非Borel集的可测集: 运用Borel可测集逼近 ⑴ 开集、闭集有限逼近法（理论效果不理想）：若可测，对于任意0，恒有开集及闭集，使而, 。 ⑵ 、型集无限逼近法（理论效果理想）：设是任意可测集，则一定存在可测集型集（或型集），使得,且。 ⑶ 设, 那么存在型集, ，使得且 。 ㈢证明集合可测的方法总结： 定义及其等价条件法。 零测集法 分解法（按可测集合的结构把一个集合分解成一个可测集加上或减去一个零测集） 夹逼性定理 利用已知结论法（P69的例1与P75的习题11） 二 测试题 1. 证明:若有界,则 2. 可数点集的外测度为零. 3. 设是直线上一有界集合,,则对任意小于的正数c,恒有的子集,使. 设是一些互不相交的可测集合，求证 5. 若，则可测。 6. 证明康托尔（Cantor）集合的测度为零。 7. 设且。若是可测集，证明 注：本题中条件去掉，结论依然成立。 8. 证明：若可测，对于任意0，恒有开集及闭集，使而, 。 9. 设存在两列可测集，使得，且 则可测。 10. 设，证明： 。 11. 设，若对任意正整数存在闭集，使得，证明是可测集。 12. 若，对，存在开集, 使得且满足 ，证明是可测集。 13.证明直线上所有可测集合作成的类的基数等于直线上所有集合类的基数。 14. 设是任意可测集，则一定存在型集，使得,且。 15. 设 是一列递增的可测集合，则 。 注：本题去掉可测条件，结论依然成立, 见课本（第二版）P70例题3。 16. 有限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集。 17. 若, 可测，且, 则 。 18．用一句话概括可测集的结构，并用公式表示。 19. 在直线上是否存在只含一个内点的集合，且满足。 20. 试构造一个闭的疏朗的集合，且。 21*. 设，可测，且，若，则皆可测。 22. 设，，可测，且，试证明可测。 23. 若，，若，证明可测。 24. 设，求 ？ 25. 若，且，则对，成立。 26. 设是中的可测集，若，证明：对任意可测集合，。 27. 设, 求证存在型集, ，使得且 。 28．设是中的可测集列，若则。 29．设是的一列的可测集，若，证明。 提示：由上限集的定义，可知对对任意自然数，， 因此又由单调性及次可数可加性即得 ， 而又因为，在上式中令，上式最右端趋于零。并由测度的非负性得到。 30. 设是的一列的可测集，且，试证明中几乎所有点之多能属于中的有限个。 提示：因为，于是，应用上题的结论可得 ，命题的证。 31. 设是一列的可测集，证明 ，都是可测集，且满足 （i）； (ii) 若存在，使得，则。 32. 设，若，则；若，则。 提示：假设，即为的某一内点，则一定存在邻域，因此，矛盾。其次利用闭包与内核的对偶关系容易证得，即由，于是，从而，根据 ，因此。 若有界集满足条件 ， 证明是可测集。 提示：令， 由上确界与下确界的定义，，可得 ，，从而 即。于是对任意成立。 且满足，因此运用夹逼性定理可得是可测集。 设是一可测集，则 （i） ； （ii）。 35． 设对任意，，求的测度。 36. 在中作一个仅含无理数的闭集，使得。