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第二章 多项式 2.1 一元多项式的定义和运算 定义1：数环R上的一个文字x的多项式或一元多项式指的是形式表达式： 这里n是非负整数而 是R中的数。 定义2：若是数环R上的两个一元多项式有完全相同的项,或者只差一些系数为0的项，那么就说是相等 定义3、叫做多项式的最高次项，非负整数n叫做多项式的次数。 多项式的加法和乘法满足一下运算规则： ⑴加法交换率 ⑵加法结合律 ⑶乘法交换率 ⑷乘法结合律 ⑸乘法对加法的分配率 定理2.1.1 设是数环R上的两个多项式，并且, .那么 (i)当时， (ii) 推论2.1.1 当且仅当中至少有一个是零的多项式 推论2.1.2 ,且,那么 2.2 多项式的整除性 定义 令是数域F上的多项式环的两个多项式，如果存在的多项式,使 我们就说，整除（能除尽). 由上面的定义我们可以直接推出关于多项式整除的一些基本性质： ⑴如果,,那么. ⑵如果，那么. ⑶如果那么对于上任意多项式来说，。 ⑷如果那么对中任意 。 ⑸零次多项式，也就是F中不等于0的数，整除任一多项式。 ⑹每一个多项式都能被整除，这里的c是F中任一不等于0的数，事实上 ⑺如果,那么,这里c是F中一个不等于0 的数。 定理2.2.1 设是的任意两个多项式，并且，那么在中可以找到多项式,使 2.3 多项式的最大公因式 定义1 令是的两个多项式。若是的一个多项式同时整除，那么叫做的一个公因式。 定义2 设是的一个公因式，若是能被的每一个公因式整除，那么叫做的一个最大公因式。 定理2.3.1 的任意两个多项式一定有最大公因式。除一个零次因式外，得最大公因式是唯一确定的，这就是说，若是的一个最大公因式，那么数域F的任何一个不为0 的数c与的乘积也是的一个最大公因式，而且当不全为零多项式时，只有这样的乘积才是的最大公因式。 定理2.3.2 若是得多项式的最大公因式，那么在里可以求得多项式,使以下等式成立 定义3 如果的两个多项式除零次多项式外不再有其他的公因式，我们就说，这两个多项式互素。 定理2.3.3 的两个多项式互素的充要条件是：在里可以求得多项式,使 2.4 多项式的分解 定义 令是的一个次数大于0的多项式，若是在中只有平凡因式，就说是在数域F上（或中）不可约，若除平凡因式外，在中还有其他因式 ，就说是在数域F上（或中）可约。 不可约多项式的一些重要性质： ⑴ 如果多项式不可约，那么F中任一不为0的元素c与的乘积也不可约。 ⑵设是一个不可约多项式而是一个任意多项式，那么或者与互素，或者整除。 ⑶如果多项式的乘积能被不可约多项式整除，那么至少有一个因式被整除。 ⑷如果多项式的乘积能够被不可约多项式整除，那么至少有一个因式被整除。 定理2.4.1 的每一个n（n0)次多项式都可以分解成的不可约多项式的乘积。 定理2.4.2 令是的一个次数大于0的多项式，并且 此处，都是的不可约多项式，那么r=s,并且适当调换的次序后可使 此处是F的不为0 的元素，换句话说，如果不计零次因式的差异，多项式分解成不可约因式乘积的分解式是唯一的。 2.5 重因式 定义 的多项式 的导数或一阶导数指的是的多项式 一阶导的导数叫做的二阶导数，记作,的导数叫做的三阶导数，记作,等等的k阶导数也记作。 定理2.5.1 设是多项式的一个k（)重因式，那么是的导数的一个k-1重因式。 定理2.5.2 多项式没有重因式的充要条件是与它的导数的互素。 2.6 多项式函数 多项式的根 定理2.6.1 设,。用除所得的余式等于当时的值. 定理2.6.2 设c是多项式的根的充要条件是能被整除。 定理2.6.3 设是中一个次多项式，那么在R中至多有n个不同的根。 定理2.6.4 设是的两个多项式，它们的次数都不大于n。若以R中的n+1个或更多的不同的数来代替x时，每次所得的值都相等，那么。 定理2.6.5