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第二章 微分方程管模型 第一节 人口学模型 人口问题是当今世界人类面临的五大问题的首要问题。我国是世界上人口最多的国家，由于20世纪五六十年代人口政策方面的失误，不仅造成人口总数增长过快，而且年龄结构也不合理。人口的过份增长给我国经济发展造成沉重袍袱，严重地影响经济建设。能否有效地控制人口的增长，已成为本世纪中叶我国能否达到中等发达国家以至赶上发达国家的关键。 建立数学模型对人口发展过程进行描述、分析和预测，并进而研究控制人口增长的生育政策，已引起有关人口专家和官员的极大关注和兴趣。以下我们就如何建立人口数学模型作简要的介绍。 一. 马尔萨斯人口增长模型 对于如何预测人口的增长，早在8世纪人们就开始进行了。英国早期经济学家马尔萨斯(1766-1843)他在担任牧师期间，根据教堂100多年人口出生统计资料，他发现人口出生率是一个常数。于是在1798年发表的《人口原理》一书中提出了哄动于世的马尔萨斯人口模型： 假设x(t)表示t时刻人口总数，r为人口增长率(常数)，其他影响人口增长的因素均不考虑。则在t到t+△t这段时间内人口总数增长为 两端同除以，并令，得 ……… (1) 其解为 ……… (2) 方程(1)称为马尔萨斯模型，它的解是一个以为公比的几何级数。马尔萨斯根据这个模型认为人口的增长是按几何级数增加，而物质的增长只能按算术级数增加。因此，人口必须加以控制。不幸的是马尔萨斯的这一忠告没有引起人们的足够重视。 马尔萨斯模型 (1) 和 (2) 与19世纪以前欧州一些地区的人口统计数据十分吻合。据估计1961年全世界人口总数为,而在此之前的十来年间人口按年2％的速率增长。因此有 于是 ……… (3) 根据统计资料，在1700—1961年间世界人口大约每35年增加一倍。由(3)式可以算出每34.6年人口增加一倍。 事实上，设在内地球上人口增加一倍，即当时，,当时，所以 由此可以看出马尔萨斯模型对于1700－1961年期间世界人口的增长实际情况是基本吻合的。但是未来人口的实际情况是否还吻合呢？如按公式(3)，到2510年世界人口总数将达到人(2万亿)，到2635年将达人(18万亿)，2670年将达到人(35万亿)。这显然是不可能的。原因何在？因为地球的资源总是有限的，人类生存的空间也是有限的。当人口基数不大，有足够的资源和空间来提供人类生存时，马尔萨斯的模型基本吻合。但当人口基数很大时，自然资源和环境以及其他诸因素将对人口的继续增长起阻滞作用，因而增长率将不再是常数。因此必须修改增长率。 二. Logistic模型 以上分析可知马尔萨斯人口模型对未来人口的预测是不对的。就其原因在于当人口总数越来越多时，人群本身对人口的增长起着阻滞的作用，这时增长率r不再是常数，而应该是x的减函数。即r=r(x)是x的减函数。一个最简单的假设是r(x)为x的线性函数： ……… (4) 这里a相当于x=0时的增长率，称为固有增长率，它与上面的马尔萨斯模型中的增长率r不同。显然对于任意的x0，增长率r(x)a。为了确定系数b的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量，称为最大人口容量，或称饱和容量。当时，增长率为零，即 由此可得 ……… (5) a和可以根据人口统计数据或经验而确定。因子体现了对人口增长的阻滞作用。(5)式也可以解释为增长率r(x)与人口尚来实现部分(相对最大容量而言)的比例成正比,比例系数为固有增长率a。在(5)式的假设下马尔萨斯模型(2)可修改为 ……… (6) 这就是著名的Logistic模型。方程(6)是变量分离方程，可用分离变量法求得其解为 ……… (7) 由(7)式可以得出人口总数具有以下特点： (1) 当时，, 不管初值如何，人口总数趋向于极限值。 (2) 当时 所以x(t)是时间t的增函数。 (3) 得拐点，当时曲线向上凹，当时曲线向下凹。和的曲线图形如下： 由此可以看出在人口总数达到极限值一半以前是加速生长时期，过这一点以后，生长的速率逐渐减慢，并且迟早会达到零。这是减速生长时期。 上述结论是否正确？我们用Logistic模型预测地球未来的人口总数。这里必须估计a，某些生物学家估计，a的值为0029，又当人口总数为时，人口每年以2％的速率增长。 由 即 (近100亿) 即地球能够养活的最大人口为100亿。1961年世界人口为30亿左右，还未达到极限值的一半，因此世界人口总数还将处于加速生长时期。这和1961年以后一段时期世界人口增长很快是相吻合的。 本世纪初人们曾经用Logistic模型预测美国的人口。以下的