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第二章 插值与拟合 2.1 插值与拟合的基本概念 2.1.1 插值与插值函数 已知由 (可能未知或非常复杂)产生的一批离散数据 ，且n+1个互异插值节点，在插值区间内寻找一个相对简单的函数 ，使其满足下列插值条件： 再利用已求得的计算任一非插值节点的近似值，这就是插值。其中 称为插值函数， 称为被插函数。 下面介绍几种常用的而且有现成MATLAB命令的插值方法的数学原理。 1. 分段线性插值 将两个相邻节点用直线连起来,如此形成的一条折线就是分段线性插值函数，记作，它满足，且在每个小区间，上是线性函数。 可以表示为 有良好的收敛性，即对于时，有。 用计算点的插值时,只用到左右的两个节点,计算量与节点个数n无关。但是n越大，分段越多，插值误差越小。MATLAB中有现成的分段线性插值命令： y=interp1(x0,y0,x) 其中x0,y0为节点数组（同长度），x为插值点数组，y为插值数组。 2. 三次样条插值 三次样条函数记作，要求它满足以下条件： （1）在每个小区间上是三次多项式； （2）在上二阶导数连续； （3）。 由条件（1），不妨将记为 ，， 其中为待定系数，共4n个。由条件（2）， 上式与条件（3）共有4n-2个方程，为确定的4n个待定参数，还需两个条件。在实际应用中通常有以下三种类型的端点条件作为附加条件。 第一类 给定两端点的一阶导数； 第二类 给定两端点的二阶导数，最常用的是所谓的自然边界条件： ； 第三类 对于周期函数，即两端点已经满足时，令它们的一阶导数及二阶导数分别相等，即，，称为周期条件。 这样，就构成了4n元线性方程组，可以证明有唯一解，即被唯一确定。 对于三次样条插值，MATLAB中有现成的命令 y=interp1(x0,y0,x,’spline’) 或者 y=spline(x0,y0,x) 其中x0,y0为节点数组（同长度），x为插值点数组，y为插值数组，端点为自然边界条件。 Spline命令还可以处理上述第一类端点条件，只需将输入数组y0改为yy0=[a y0 b]， 其中a，b分别为。 3. 高维插值 MATLAB还给出了高维插值函数interpN()，其中N可以为2，3，…，例如N=2时，为二维插值，调用格式为 Zi=interp2(x,y,z,xi,yi,’method’) 其中x,y,z为插值节点，zi为被插值点（xi,yi）处的插值结果。’method’表示采用的插值方法：’nearest’表示最邻近插值；’linear’表示线性插值；’cubic’表示三次插值。所有插值方法都要求x,y是单调的网格。 2.1.2 最小二乘拟合 已知一批离散的数据 ，互不相同，寻求一个拟合函数 ，使与的误差平方和在最小二乘意义下最小。在最小二乘意义下确定的 称为最小二乘拟合函数。 1. 一元最小二乘法 给定平面上的点，进行曲线拟合有多种方法，最小二乘法是解决曲线拟合最常用的一种方法。最小二乘法的提法是： 求，使 达到最小。 拟合时选用一定形式的拟合函数，拟合函数可由一些简单的“基函数”（例如幂函数，三角函数等等）来线性表示： 现在要确定系数，使达到极小。为此，将的表达式代入中，就成为的函数，令对的偏导数等于零，于是得到m+1个方程组，由此求出。通常取基函数为，这时拟合函数为多项式函数。特别地，当m=1时，，称为一元线性拟合函数。 MATLAB中提供了多项式拟合的语句： a=polyfit(x,y,m) x,y为要拟合的数据，是长度自定义的数组，m为拟合多项式的次数。输出参数为拟合多项式的系数。多项式为降幂形式： 输出系数次序　。 多项式在处的拟合值可用下面程序计算： y=polyval(a,x) 2. 如何选择拟合函数 已知一组数据 ，选择什么样的函数呢？一是根据机理分析来确定函数形式，二是根据散点图直观判断函数的形式。要比较两个模型哪个拟合效果更佳，则比较两个模型的残差平方和。残差平方和较小者更佳。 设为拟合函数的值，为测量值，则残差 3. 曲面拟合简介 实际问题中可能遇到曲面拟合问题，可以将一元最小二乘方法的有关概念和结论推广到多元最小二乘方法。已知m个自变量和一个因变量的一组观测值 ，要确定函数，使得 一般地，首先通过机理分析或数据的直观判断，去确定函数的结构，假定函数中含有未知参数，然后，通过最小二乘原理具体确定参数。 2.1.3 温度预测问题 在12小时内，每隔1小时测量一次温度。温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。(单位:℃) 试分别用分段线性插值、三次样条插值方法估计在3.2