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第二章　数列与函数的极限 作为基础来说极限是支承一切的，没有极限就没有高等数学的一般理论。在高等数学里，几乎所有的主要概念都是用极限定义的，一些基本运算方法（如微分和积分法）也是由极限运算法则推出来的，可以说，微积分的定义就是极限概念的推论，因此，极限是高等数学最重要的基本概念，正如有学者认为“作为基础来说它是支承一切的”，对于这一个关键性的概念，必须很好地掌握和理解。 基本内容：基本概念：极限和无穷小 基本运算：极限的四则运算法则、两重要极限以及极限准则 基本理论：极限理论 具体应用：求各种初等函数的极限 本章重点：极限和无穷小的概念，及利用、、等求各种极限。 课标导航 1.掌握极限概念：能正确理解极限的意义；体会在极限定义中，说法的必要性。但一般不要求在给定后能找出或. 2.弄清极限与无穷小的关系。 3.学会用各种方法求函数的极限。 一、知识梳理与链接 函数概念着重研究两个变量之间的对应关系，而极限概念则着重研究在自变量按一定方式变化的条件下，因变量的变化趋向。古今中外，在生产活动和科学实验中，早就产生并应用极限思想解决很多实际问题，经过很多科学家的逐步提炼，逐步形成现在引用的精确的定量的表达形式。 （一）基本概念 1．数列的极限 【直观定义】如果当无限增大时，数列无限趋近于唯一一个常数，则称常数为数列的极限。记为 【精确定义】如果对于每一个预先给定的任意小的正数，总存在着一个正整数，使得对于时的一切，不等式能成立，则常数就叫做数列的极限,或说数列收敛于，并记作 【注意】①如果数列极限不存在，就说数列是发散的。 ②极限记号“”。读作“立密脱”，是拉丁文limit的缩写。也有学者说是英文limit的缩写，意思都是极限。 2．函数的极限 （1）自变量趋于有限数时的极限 【直观定义】若函数在点的左右近旁有定义，如果当无限地趋近于时，函数值无限地趋近于一个唯一常数，则称常数为函数在点处的极限。记为 【精确定义】设函数在点的某空心邻域内有定义，如果对于每一个预先给定的任意小的正数，总存在着一个正数，当时的一切，不等式恒成立，则常数就叫做函数在点处的极限，或说函数在点处收敛于，记作 【左、右极限】设函数在点的某空心邻域内有定义，如果，，当（）时，恒有成立，则常数就叫做函数在点处的右（左）极限。记作 （） （2）自变量趋于无限数时的极限 【直观定义】如果当无限增大时，函数值无限地趋近于一个唯一常数，则称常数为函数在时的极限。记为 【精确定义】如果函数对于每一个预先给定的任意小的正数，总存在着一个正数，当时的一切，不等式恒成立，则常数就叫做函数在时的极限，或说函数在时收敛于，记为 【单侧极限】如果函数,， ，当()时的一切，不等式恒成立，则常数就叫做函数在()时的极限，记为 () 3．数列极限的几何意义 【几何解释】 由数列极限的定义可知：，总存在着一个正整数，使得对于时的一切，不等式成立，故表示了当时，数列所有项都落在开区间内，在该区间外至多有有限项。 4．函数极限的几何意义 ①由的定义知：任意给定正数，总存在着点的一个邻域且，当曲线的图形上的点的横坐标在邻域内，但时，这些点的纵坐标满足不等式. 可知的几何意义：自变量取时，函数的图形位于这四直线和构成的矩形之内。或说函数的图形介于平行于轴的两条直线之间。 ②的几何意义：对任意给定正数，则总有一个正数存在，当时的一切对应的曲线上的点，均落在平行于轴的两条直线之间。 5．无穷小 【定义】如果函数当（或）时的极限为零，那么称函数为当（或）时的无穷小。 6．无穷小的比较 【定义】设都在的同一变化条件下（或）的无穷小，若 7．无穷大 【定义】设函数在点的某空心邻域内有定义（或大于某一个正数时有定义），如果对于任意给定的正数（不管它有多么大），总存在着一个正数（或正数），只要适合不等式（或），对应的函数值总满足不等式，则称函数为当（或）时的无穷大。 （二）定理、性质和公式 1．极限存在的充要条件 ①极限存在的充分必要条件是函数在点处的左、右极限存在而且相等，即 ②极限存在的充分必要条件是函数在时的极限存在而且相等，即. 2．收敛数列的性质 【性质1】（极限的唯一性）：如果数列收敛，则它的极限唯一。 【性质2】（收敛数列的有界性）：如果数列收敛，则数列一定有界。 【性质3】（收敛数列的保号性）：如果，那么存在正整数，当时，恒有 【推论】如果数列从某项起有，且，那么 【性质4】（收敛数列与其子数列间的关系）：如果数列收敛于，则数列的任一子数列也收敛，且极限也是. 3．函数极限的性质 【性质1】（函数极限的唯一性）：如果，则这个极限唯一。 【性质2】（函数极限的局部有界性）：如果，则存在常数，使得当时，有. 【性质3】（函数极限的局部保号性）：如果，那么存在常数，当时，有. 【推论】