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第五章弯曲应力
第五章 弯曲应力
内容提要
一、梁的正应力
Ⅰ、纯弯曲和横力弯曲
纯弯曲:梁横截面上的剪力为零,弯矩为常量,这种弯曲称为纯弯曲。
横力弯曲:梁横截面上同时有剪力和弯矩,且弯矩为横截面位置x的函数,这种弯曲称为横力弯曲。
Ⅱ、纯弯曲梁正应力的分析方法:
1. 观察表面变形情况,作出平面假设,由此导出变形的几何方程;
2. 在线弹性范围内,利用胡克定律,得到正应力的分布规律;
3. 由静力学关系得出正应力公式。
Ⅲ、中性层和中性轴
中性层:梁变形时,其中间有一层纵向线段的长度不变,这一层称为中性层。
中性轴:中性层和横截面的交线称为中性轴,梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的,在线弹性范围内,中性轴通过横截面的形心。
中性层的曲率,平面弯曲时中性层的曲率为
(5-1)
式中:为变形后中性层的曲率半径,为弯矩,为梁的弯曲刚度。(5-1)式表示梁弯曲变形的程度。
Ⅳ、梁的正应力公式
1. 横截面上任一点的正应力为
(5-2)
正应力的大小与该点到中性轴z的距离y成正比,试中M和y均取其绝对值,可根据梁的变形情况判断是拉应力或压应力。
2. 横截面上的最大正应力,为
(5-3)
(5-4)
为弯曲截面系数,对于矩形、圆形和弯环截面等,的公式应熟记。
3. 弯曲正应力公式的适用范围:
1)在线弹性范围内,在小变形条件下的平面弯曲弯。
2)纯弯曲时,平面假设成立,公式为精确公式。横力弯曲时,平面假设不成立,公式为近似公式,当梁的跨高比时,误差。
Ⅴ、梁的正应力强度条件
拉、压强度相等的等截面梁
(5-5)
式中,为料的许用正应力。
当梁内,且材料的时,强度条件应为
,
Ⅵ、提高梁正应力强度的措施
1)设法降低最大弯矩值,而提高横截面的弯曲截面系数。可使梁的最大正应力降低,从而提高梁的承载能力。
2)对于的梁,应使横截面的中性轴偏于受拉一侧,最好使,使和同时达到其许用应力。
3)采用等强度梁或变截面梁,使每个横截面上的最大正应力同时达到许用应力或接近许用应力。
二、梁的切应力
梁的切应力公式的分析方法是,首先对切应力在横截面上的分布规律作出部分假设,再根据微段的平衡条件导出切应力公式。横截面形状态不同,对切应力在横截面分布规律的假设不同,必须按不同横截面形状分别导出其切应力公式。
Ⅰ、矩形截面梁
假设切应力的方向平行于剪力,其大小沿宽度b均匀分布(图b),由图a中带阴影线部分微段的平衡条件,得
(5-6)
式中,为横截面上的剪力,b为横截面的宽度,,为横截面上距中性轴为y的横向线以下(或以上)的部分面积对中性轴z的静面矩,其值为,可见切应力沿横截面高度h按抛物线规律变化,处,,(中性轴处)时,,其值为
(5-7)
Ⅱ、工字形截面梁
1. 腹板上的切应力
切应力的分布假设同矩形截面梁,由微段(图5-2b)的平衡条件,得
(5-8)
式中,为横截面上的剪力,d为腹板的宽度,为整个工字形截面对中性轴的惯性矩,为距中性轴z为y的横向线以下(或以上)的部分横截面面对对中性轴z的静面矩,可见剪应力沿腹板高按抛物规律分布(图5-2,d),在腹板和翼缘交界处,在中性轴处,其值为
(5-9)
式中,为中性轴以下(或以上)的半个横截面对中性轴z的静面矩,计算时,为下(或上)翼缘的面积对中性轴z的静面矩。型钢时为型钢表中的。
腹板的主要功能之一是抗剪切,腹板承受铅垂剪力的约95%~97%。
2. 翼缘上的切应力
翼缘上的水平切应力沿其厚度均匀分布,由图c所示微段的平衡条件得
(5-10)
式中,为翼缘的厚度,和的意义和(5-8)式相同,为距翼缘端部为的部分翼缘面积对中性轴z的静面矩,,,可见沿翼缘宽度按线性规律变化(图5-2,d)。
3. 切应力流
根据剪力的指向确定腹板上切应力的指向,按顺流方向确定翼缘上的切应力方向,例如:设的方向向下,上翼缘上的切应力犹如水流一样由其两端的两股水流流向腹板,经由腹板,再分成两股流入下翼缘两端。根据切应力流的概念可以判断开
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