第八章控制系统的状态空间分析与综合.doc

第八章 控制系统的状态空间分析与综合 经典控制理论主要以传递函数为基础，采用复域分析方法，由此建立起来的频率特性和根轨迹等图解解析设计法，对于单输入—单输出系统极为有效，至今仍在广泛成功地使用。但传递函数只能描述线性定常系统的外部特征，并不能反映其全部内部变量变化情况，且忽略了初始条件的影响，其控制系统的设计建立在试探的基础之上，通常得不到最优控制。复域分析法对于控制过程来说是间接的。 现代控制理论由于可利用数字计算机进行分析设计和实时控制，因此可处理时变﹑非线性﹑多输入-多输出系统的问题。现代控制理论主要以状态空间法为基础，采用时域分析方法，对于控制过程来说是直接的。它一方面能使设计者针对给定的性能指标设计出最优控制系统，另一方面还可以用更一般的输入函数代替特殊的所谓“典型输入函数”来实现最优控制系统设计。随着控制系统的高性能发展，最优控制﹑最佳滤波﹑系统辨识﹑自适应控制等理论都是这一领域研究的主要课题。 在用状态空间法分析系统时，系统的动态特性是由状态变量构成的一阶微分方程组来描述的。它能反映系统的全部独立变量的变化，从而能同时确定系统的全部运动状态，而且可以方便地处理初始条件。 第一节 控制系统的状态空间描述 一、状态空间的基本概念 状态和状态变量 表征系统运动的信息称为状态，足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量称为状态变量。一个用阶微分方程式描述的系统，就有个独立变量，当这个独立变量的时间响应都求得时，系统的运动状态也就被揭示无遗了。因此，可以说该系统的状态变量就是阶系统的个独立变量。 状态变量的选取具有非唯一性，既可用某一组又可用另一组数目最少的变量作为状态变量。状态变量不一定在物理上可量测，有时只具有数学意义，但实用时毕竟还是选择容易量测的量作为状态变量，以便满足实现状态反馈﹑改善性能的要求。 状态变量的一般记号为。 状态向量 把描述系统状态的个状态变量看作向量 的分量，则向量称为维状态向量，记作﹕ 或 状态空间 以个状态变量作为坐标轴所构成维空间称为状态空间。系统在任一时刻的状态，在状态空间中用一点来表示。随着时间的推移，将在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨线。 状态方程 由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为状态方程。由于状态变量的选择具有非唯一性，故状态方程也具有非唯一性。对于一个具体的系统，当按可量测的物理量来选择状态变量时，状态方程往往不具备某种典型形式，当按一定规则来选择状态变量时则具有典型形式，从而给研究系统特性带来方便。尽管状态方程形式不同但它们都描述了同一个系统，不同形式的状态方程之间实际上存在着某种线性变换关系。 用图9—1所示的网络说明如何用状态变量描述这一系统。 图8-1 电路 此系统有两个独立储能元件，即电容和电感，故用二阶微分方程式描述该系统，所以应有两个状态变量。状态变量的选取，原则上是任意的，但考虑到电容的储能与其两端的电压有关，电感的储能与流经它的电流有关，故通常就以和作为此系统的两个状态变量。 根据电工学原理，容易写出两个含有状态变量的一阶微分方程式﹕ 亦即 （8-1） 设状态变量，则该系统的状态方程为 写成向量矩阵形式为 （8-2） 简记为 式中 若改选和作为两个状态变量，即令，则该系统的状态方程为 即 （8-2） 比较式（8-2）和式（8-2），显然，同一系统，状态变量选取的不同，状态方程也不同。 输出方程 系统输出量与状态变量﹑输入量的关系称为输出方程。输出量由系统任务确定或给定。如在图9—1系统中，指定作为输出，输出一般用表示，则有 （8-3） 或 式（8-3）就是图8-1系统的输出方程，它的矩阵表示式为 或 状态空间表达式 状态方程和输出方程的组合称为状态空间表达式，它既表征了输入对于系统内部状态的因果关系，又反映了内部状态对于外部输出的影响，所以状态空间表达式是对系统的一种完全的描述。由于系统状态变量的选择是非唯一的，因此状态空间表达式也是非唯一的。 设单输入—单输出线性定常连续系统，其状态变量为，则状态方程的一般形式为