第六章 河道非恒定水流计算.doc

第六章 河道非恒定水流计算 天然河道水流常被认为是一维流动的，描述河道水流的基本方程为圣维南方程组，该方程组为双曲线型偏微分方程组，有两类基本的求解方法，一是特征线法，二是有限差分法。有限差分法随着计算技术的发展和计算机速度的提高，已广泛应用于非恒定流计算中，以下着重介绍应用有限差分法求解圣维南方程组。 6.1 Preissmann四点线性隐式差分格式 6.1.1 基本方程 水体中的一维非恒定水流，可以用圣维南方程组来描述，即 (6-1) (6-2) 式中：为断面流量()；为水位(m)；为水面度(m)；为单宽旁侧入流量()；为过水断面面积；为水力半径；为糙率；为动量校正系数，一般情况下取为1；为重力加速度，等于；为沿河长的距离变量(m)；为时间变量(s)。式(6-1)为连续方程，式(6-2)为动力方程。 6.1.2 求解方法 要求出圣维南方程组式(6-1)和(6-2)的解析解，用目前的数学理论是非常困难的，而只能求其数值解，其中差分法是最为常用的数值解法。差分格式又可分为显式和隐式两大类，显式格式的优点是计算简便，缺点是为了满足计算稳定性和精度的要求，计算时间步长和距离步长之比必须满足Courant条件。为此一般选用隐式格式。隐式格式虽然是无条件稳定的，但构造出来的方程需要联立求解。本文选择Preissmann四点线性隐式差分格式来求解上述圣维南方程组。该法的基本思想是将圣维南方程组中偏导数前的系数项用时段初已知值来估计，阻力项进行线性化处理。由于这样构造出来的差分方程为一线性代数方程组，求解时无需迭代试算。 差分格式的设置如图6-1所示。采用四点线性隐式差分格式方法对圣维南方程组进行推导，采用的差分格式为 图6-1 Preissmann格式离散 (6-3) 式中：为权重系数，；为水流参数，例如水位、流量、水深、过水断面面积、水面宽等；为距离步长；为时间步长；下标表示断面位置，上标表示时刻。 根据式(6-3)，对连续方程(6-1)，有 将以上关系式代入连续方程式，得到 (6-4) 简写为 (6-5) 根据式(6-3)，对动量方程，有 将以上各式代入动力方程式，得到 (6-6) 用个断面可将计算河段长划分成个子河段，每个子河段的长度为()，取时间步长为，则应用Preissmann四点隐式差分格式，并令时段初的水力要素作为时段平均水力要素，就可将式(6-1)和(6-2)离散成差分方程。对第子河段，为了简写起见，省略上标，该差分方程可写为 (6-7) 其中 (6-8) 由式(6-8)可知，式(6-7)中的差分系数、、、、、仅与河槽几何参数、糙率和初始条件有关，所以它是一个线性代数方程组。对于一条起始断面序号为、终止断面序号为的河段来说(图6-2)，该河段具有个断面、个子河段，则个子河段就可列出包含个未知变量的个方程式，如再加上河道两端的边界条件，就可构成一个闭合的代数方程组。即 (6-9) 该闭合代数方程组的系数矩阵是一个四对角稀疏矩阵，因此，可用追赶法进行求解，从而求得各断面的水位和流量过程、()。 图6-2 计算河段示意图 对于该方程组，根据不同的边界条件，可设不同的递推关系，用追赶法直接求解。对于河道的边界条件，一般有以下三种情况： (1) 水位已知 (2) 流量已知 (3) 水位流量关系 1、水位边界条件的计算 对于水位已知的边界条件，可设如下的追赶方程 (6-10) 因为 所以 ， 将式(6-10)中的表达式代入差分方程(6-7)中，得到 式，消去，得到式(6-10)中的追赶系数为 (6-11) 其中： 由此递推关系可得：，与下边界条件联立求解，可得到，回代可求得、(。 2. 流量边界条件的计算 对于流量已知的边界条件，可假设如下的追赶关系 (6-12) 因为 所以 ， 将式(6-12)中的表达式代入差分方程式(6-7)中，得到 式，消去，得到 (6-13) 其中： 由此递推关系可得：，与下边界条件联立求解，可得到，回代可求得、(。 3. 水位流量关系边界条件 对于水位流量关系的边界条件，可线性化处理成，即可同流量边界条件一样处理 所以 ， (6-14) 象流量边界条件一样，利用(6-13)