第六章部分习题解答.doc

第六章习题参考解答 6－1 解：当摩擦系数足够大时，平台AB相对地面无滑动，此时摩擦力。取整体为研究对象，受力如图，系统的动量，将其在轴上投影可得：，根据动量定理有 即，当摩擦系数时，平台AB的加速度为零。 当摩擦系数时，平台AB将向左滑动，此时系统的动量为 将上式在轴投影有 根据动量定理有 由此解得平台的加速度为：（方向向左）。 6－2 解：取弹簧未变形时滑块A的位置为x坐标原点。取整体为研究对象，受力如图所示，其中为作用在滑块A上的弹簧拉力。系统的动量为 将上式在x轴投影有 根据动量定理有 则滑块的运动微分方程为 。 6－4 解：取提起部分为研究对象，受力如图（a）所示。提起部分的质量为，提起部分的速度为，根据点的复合运动可知质点并入的相对速度的方向向下，大小为（如图a所示）。 （b） 根据变质量质点动力学方程有 将上式在y轴上投影有 因为，由上式可求得：。 再取地面上的部分为研究对象，如图（b）所示。由于地面上的物体没有运动，并且与提起部分没有相互作用力，因此地面的支撑力就是未提起部分自身的重力，即：。 6－5 解：将船视为变质量质点，取其为研究对象，受力如图。根据变质量质点动力学方程有 其中，船的质量为，水的阻力为。代入上式可得 将上式在x轴投影有 应用分离变量法可得 由初始条件确定积分常数 ，并代入上式有 。 6－8 （a） （b） 解：取方板和质点为研究对象，作用在研究对象上的外力对转轴z的矩为零，因此系统对z轴的动量矩守恒，下面分别计算方板和质点对转轴的动量矩。 如图（b）所示，设方板对转轴的动量矩为，其角速度为，于是有 设质点M对转轴的动量矩为，取方板为动系，质点M为动点，其牵连速度和相对速度分别为。相对速度沿相对轨迹的切线方向，牵连速度垂直于OM连线。质点M相对惯性参考系的绝对速度，它对转轴的动量矩为 其中， 系统对z轴的动量矩为。初始时，，此时系统对z轴的动量矩为 当系统运动到图（b）所示位置时，系统对z轴的动量矩为 系统对转轴的动量矩守恒，有，因此有 由上式可计算出方板的角速度为 6－11 解：取链条和圆盘为研究对象，受力如图（链条重力未画）。设圆盘的角速度为，则系统对O轴的动量矩为 根据动量矩定理有 整理可得 由运动学关系可知：，因此有：。上式可表示成 令，上述微分方程可表示成：，该方程的通解为 根据初始条件：，可以确定积分常数，于是方程的解为 系统的动量在x轴上的投影为： 系统的动量在y轴上的投影为： 根据动量定理有 由上式解得：，。 6－14 解：取整体为研究对象，系统的动能为 其中，分别是AB杆的速度和楔块C的速度。如图所示，若是AB杆上的A点相对楔块C的速度，则根据复合运动速度合成定理可知：，因此系统的动能可表示为 在系统运动过程中，AB杆的重力做功，根据动能定理的微分形式有：，系统的动力学方程可表示成： 由上式解得：，。 6－17 （a） （b） 解：取小球和物块为研究对象，受力如图（b）所示。由于作用在系统上的主动力均为有势力，且水平方向无外力，因此系统的机械能守恒，水平方向动量守恒。取小球为动点，物块为动系，假设小球相对物块的速度为，物块的速度为，则系统的动能为 设时系统势能为零，则任意时刻系统的势能为 根据机械能守恒定理和初始条件有，即 系统水平方向的动量为 根据系统水平动量守恒和初始条件有 由此求出，代入上面的机械能守恒式,令可求得 下面求作用在小球上的约束力和地面对物块的约束力。分别以小球和物块为研究对象，受力如图（c），（d）所示。设小球相对物块的加速度为，物块的加速度为，对小球有动力学方程 （a） （c） （d） 物块平移，根据质心运动定理有 （b） 将（a）式在小球相对运动轨迹的法线方向投影可得 其中，相对加速度为。将（b）式在水平方向和铅垂方向投影，可得 令，求解三个投影方程可得 6－18 解