第十一章级数.doc

第十一章 级数 1．写出下列级数的前5项： (1) ；(2) ；(3) ；(4) 解答：(1) ； (2) ； (3) ； (4) 。 所属章节：第十一章第一节 难度：一级 2．写出下列级数的通项： (1) ；(2) ；(3) 解答：(1) ； (2) ； (3) 。 所属章节：第十一章第一节 难度：一级 3．已知级数的部分和Sn，写出该级数，并求和： (1) ；(2) ； 解答：(1) 一般项为，，故该级数为，该级数的和为； (2) 一般项为，，故该级数为，该级数的和为 。 所属章节：第十一章第一节 难度：一级 4．根据定义求出下列级数的和： (1) ；(2) ；(3) ；(4) 解答：(1) ； (2) ； (3) ； (4) 所属章节：第十一章第一节 难度：一级 5．证明下列级数发散： (1) ；(2) ；(3) ；(4) 解答：(1) 由于，所以级数发散； (2) 由于，所以级数发散； (3) 由于，所以级数发散； (4) 由于，所以级数发散。 所属章节：第十一章第一节 难度：一级 6．用比较判别法或极限形式的比较判别法判别下列级数的敛散性： (1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ； (6) ；(7) ；(8) ；(9) （第9小题是否应该放到下一题去用比值判别法？建议移至第7大题第7小题） 参考答案：(1) 发散；(2) 收敛；(3) 发散；(4) 收敛；(5) 发散；(6) 发散；(7) 当a1时收敛，当a≤1时发散；(8) 收敛（参考答案有误？）；(9) 当ae时收敛，当a≥e时发散 解答：(1) 由于，而级数发散，故正项级数发散； (2) 由于，而级数收敛，故正项级数收敛； (3) 由于，所以正项级数发散； (4) 由于，所以正项级数收敛； (5) 由于，而级数发散，所以正项级数发散； (6) 由于，所以正项级数发散； (7) 当时，由于，所以正项级数收敛， 当时，由于，所以正项级数发散； (8) 由于，而调和级数发散，所以正项级数发散； (9) 当时，由于，所以原级数收敛， 当时，由于，所以原级数发散。（注：本题已改用比值判别法 所属章节：第十一章第二节 难度：二级 7．用比值判别法或根值判别法判别下列级数的敛散性： (1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ； (6) ；(7) ；(8) ；(9) ，其中an→a(n→∞)，an、b、a均为正数 参考答案：(1) 收敛；(2) 收敛；(3) 收敛；(4) 发散；(5) 收敛；(6) 收敛（参考答案有误？）；(7) 收敛（无法用所给方法判别，建议移至上一大题）；(8) 收敛；(9) 当ba时收敛，当ba时发散，当b=a时不能判定 解答：(1) 由于， 所以正项级数收敛； (2) 由于， 所以正项级数收敛； (3) 由于， 所以正项级数收敛； (4) 由于， 所以正项级数发散； (5) 由于， 所以正项级数收敛； (6) 由于， 所以正项级数发散； (7) 由于，而级数收敛，所以收敛；（注：由于本题用比值判别法判别失效，本题已改用比较判别法） (8) 由于， 所以正项级数收敛； (9) 当时，由于，所以收敛， 当时，由于，所以发散， 当时，由于，所以的敛散性无法判定。 所属章节：第十一章第二节 难度：二级 8．用积分判别法判别下列级数的敛散性： (1) ；(2) ；(3) ；(4) 参考答案：(1) 发散；(2) 发散（原参考答案有误？）；(3) 收敛；(4) 当p1时收敛，当p≤1时发散 解答：(1) 由于积分发散，所以由积分判别法知，原级数发散； (2) 由于积分收敛，所以由积分判别法知，原级数收敛； (3) 由于积分收敛，所以由积分判别法知，原级数收敛； (4) 当p1时，由于积分收敛，所以由积分判别法知，原级数收敛。 当时，由于积分发散，所以由积分判别法知，原级数发散。 当时，由于积分发散，所以由积分判别法知，原级数发散。 综合知，原级数当p1时收敛，当p≤1时发散。 所属章节：第十一章第二节 难度：二级 9．利用级数收敛的必要条件，证明下列极限： (1) ；(2) ；(3) 解答：(1) 由于， 所以由比值判别法知正项级数级数收敛， 于是由级数收敛的必要条件知； (2) 由于， 所以由比值判别法知正项级数级数收敛， 于是由级数收敛的必要条件知； (3) 由于， 所以由比值判别法知正项级数级数收敛， 于是由级数收敛的必要条件知。 所属章节：第十一章第二节 难度：二级 10．设an≥0，且收敛，证明也收敛 解答：由于正项级数收敛，所以，存在正整数，当时，，从而当时，，由正项级数的比较判别法知，级数收敛。 所属章节：第十一章第二节 难度：二级 11．设