系统辨识第2讲.doc

《系统辨识》第2讲要点 随机信号的描述与分析 2.1 随机过程的基本概念及其数学描述 2.1.1 基本概念 ● 随机过程概念 ● 随机过程的描述 集合方向、时间方向 ● 随机过程的分类 随机过程的分类一般有两种方法：（1）以参数集和状态空间的特征来分类；（2）以统计特征或概率特征来分类。 2.1.2 随机过程的数字特征 ● 与一维概率密度有关的数字特征 均值、均方值和方差： ● 与二维概率密度有关的数字特征 自相关函数、自协方差函数： ● 数字特征之间的关系 2.1.3 平稳性、各态遍历性 ● 平稳性概念、宽平稳概念 随机过程的统计性质不随时间变化。宽平稳涉及到的统计性质局限在均值函数和相关函数。 ● 各态遍历性（历经性）概念 集平均： 时间平均： 如果 及 则称平稳随机过程是各态遍历（各态历经）的平稳随机过程。本课程所涉及到的平稳过程都是各态遍历的平稳随机过程。 由观测值计算均值和相关函数，可以得到： 2.1.4 相关函数和协方差函数 ● 相关函数概念、互相关函数概念 ● 互协方差函数概念 ● 不相关概念 若 ，则称与互不相关。 ● 相关函数的性质、互相关函数的性质 ● 相关函数的计算、互相关函数的计算 2.2 谱密度函数 2.2.1 Parseval定理与谱密度概念 ● 谱密度函数的物理意义 对于确定性信号（能量）： 其中： 平均功率谱密度： 其中：，称为的平均谱密度。 随机过程的谱密度： 其中：称为随机过程的功率谱密度，简称谱密度。 2.2.2 Wiener-Khintchine公式 ● 相关函数与谱密度函数构成一对Fourier变换 由都是实偶函数，我们有： ● 互相关函数与互谱密度函数构成一对Fourier变换 ● 白噪声的谱密度 2.3 线性过程（系统）在随机输入下的响应 2.3.1 线性过程在随机输入下的输出谱密度 ● 其中：是线性过程的单位脉冲响应，是线性过程的频率响应，我们有： 2.3.2 线性过程在随机输入下的互谱密度 ● 2.4 相关函数和谱密度的估计 2.4.1 相关函数的估计 ● 估计式 设是一宽平稳各态遍历的均值为零的离散随机过程，它的自相关函数为，则有： （1） （2） 其中：是数据的长度。 ● 两种估计式的比较 （无偏估计） （有偏估计，渐近无偏估计） 一般工程上都用（2）式进行估计，原因： 偏差的大小 方差小 均方差小 在谱估计中用此式方便 ● 互相关函数的估计 2.4.2 利用FFT计算相关函数 ● 算法课后阅读 2.4.3 周期图 ● 定义 将作傅立叶变换，得样本谱密度： 令： 我们有： 其中：是的傅立叶变换。 称以上的样本谱密度为周期图，记做： ● 周期图的性质 均值：（有偏估计，渐近无偏估计） 方差：单样本是高斯分布时，有： （不是一致估计量） 2.4.4 谱密度的估计 ● Bartlett平均周期图法 计算步骤： （1）设为观察到的输入输出数据，数据长度为，将数据分成长度为的个互不交叠段，记： （2）计算各数据段的周期图： 其中：为数据窗，数据窗应满足的条件见P40，且 （3）求输入数据的自谱密度和输入输出的互谱密度估计： 2.5 白噪声及其产生方法 2.5.1 白噪声的概念 ● 白噪声过程（一系列不相关的随机变量组成的理想化随机过程） 相关函数： 谱密度： 近似白噪声过程 谱密度：（为给定的远大于过程的截止频率） 相关函数： 讨论白噪声时，还要涉及到白噪声的概率分布，服从正态分布的白噪声称为高斯白噪声。 维白噪声：一个维随机过程满足： 其中为正定常数矩阵，则称为维白噪声过程。 ● 白噪声序列 白噪声序列是白噪声过程的离散形式。如果序列满足： 相关函数： 则称为白噪声序列。 谱密度： 2.5.2 表示定理与成形滤波器 ● 表示定理 设平稳噪声序列的谱密度是的实函数，或是的有理函数，那么必定存在一个渐近稳定的线性环节，使得如果环节的输入是白噪声序列，则环节的输出是谱密度为的平稳噪声序列。 ● 成形滤波器 表示定理中所涉及到的线性环节称为成型滤波器。 白噪声 有色噪声 可以证明：如果的谱密度是的有理函数，那么一定存在一个成型滤波器，它的脉冲传递函数为： 且 的根都在平面的单位圆内。 ● 例子 设平稳有色噪声序列的自相关函数为：