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近世代数习题解答 第二章 群论 1 群论 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群? 证 不是一个群,因为不适合结合律. 2. 举一个有两个元的群的例子. 证 对于普通乘法来说是一个群. 3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件 来作群的定义: . 至少存在一个右单位元,能让 对于的任何元都成立 . 对于的每一个元,在里至少存在一个右逆元能让 证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由 得 因为由有元能使 所以 即 (2) 一个右恒等元一定也是一个左恒等元,意即 由 得 即 这样就得到群的第二定义. (3) 证 可解 取 这就得到群的第一定义. 反过来有群的定义得到是不困难的. 2 单位元,逆元,消去律 若群的每一个元都适合方程,那么就是交换群. 证 由条件知中的任一元等于它的逆元,因此对有. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数. 证 (1) 先证的阶是则的阶也是. 若有 使 即 因而 这与的阶是矛盾.的阶等于的阶 (2) 的阶大于, 则 若 这与的阶大于矛盾 (3) 则 总起来可知阶大于的元与双双出现,因此有限群里阶大于的元的个数一定是偶数 假定是个数一个阶是偶数的有限群,在里阶等于的元的 个数一定是奇数. 证 根据上题知,有限群里的元大于的个数是偶数;因此阶 的元的个数仍是偶数,但阶是的元只有单位元,所以阶 的元的个数一定是奇数. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的. 证 故 由于是有限群,所以这些元中至少有两个元相等: 故 是整数,因而的阶不超过它. 4 群的同态 假定在两个群和的一个同态映射之下,，和的阶是不是一定相同? 证 不一定相同 例如 对普通乘法都作成群,且(这里是 的任意元,是的元) 由 可知 ∽ 但 的阶都是. 而的阶是. 5 变换群 假定是集合的一个非一一变换,会不会有一个左逆元,使得? 证 我们的回答是回有的 : 1→1 1→1 2→1 2→3 3→2 3→4 4→3 4→5 … … 显然是一个非一一变换但 假定是所有实数作成的集合.证明.所有的可以写成是有理数,形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群? 证 (1) 是有理数 是关闭的. 显然时候结合律 则 而 所以构成变换群. 又 : 故因而不是交换群. 3. 假定是一个集合的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号: 来说明一个变换.证明,我们可以用: 来规定一个的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说还是的单位元. 证 那么 显然也是的一个变换. 现在证这个乘法适合结合律: 故 再证还是的单位元 4． 证明一个变换群的单位元一定是恒等变换。 证 设是是变换群的单位元 ，是变换群，故是一一变换，因此对集合 的任意元，有的元， = 另证 根据习题知 证明实数域上一切有逆的矩阵乘法来说，作成一个群。 证 ={实数域上一切有逆的矩阵} 则是的逆 从而 对矩阵乘法来说，当然适合结合律且（阶的单位阵） 是的单位元。 故 作成群。 6 置换群 1. 找出所有的不能和交换的元. 证