量子力学IWOP技术发展表象变换理论.doc

1第三章 IWOP技术发展表象变换理论 Dirac 曾说：“变换理论的应用日益广泛，是理论物理学新方法的精华”。量子力学的表象变换使得量子力学早期的各个流派学说能得以同一。表象变换与若干特殊函数密切相关，例如数学中的Fourier变换与坐标—动量表象变换对应；Hankel变换（其变换核是Bessel函数）与互为共轭的两个诱导纠缠态表象的变换对应[1]。同时，表象的变换也构成了很多幺正算符，如前面说明的单、双模压缩算符等。IWOP技术是发展了量子力学的变换理论的有效途径，即可用于在量子力学不同表象之间的变换，又为经典变换与量子幺正变换之间架起了“直接的”桥梁。Dirac曾称变换理论为“我一生中最使我兴奋的一件工作”。他用态矢的形式处理量子态与算符在不同表象下的变换，也指出了“对于有经典类比的量子的力学系统，在量子力学中的么正变换是经典力学中的切变换的类比。”量子力学中的许多表象变换，如坐标本征态和动量本征态的变换、宇称变换、置换变换、转动变换、压缩变换等，都可以通过积分型投影算符构建；经典的切变换，如双模、多模坐标正则变换，空间中的转动变换，独立粒子坐标到Jacobi坐标的变换等，也可以通过各种积分型投影算符构造出相应的量子幺正算符。IWOP技术对这类算符的有效处理使得它可以直接积出它们的显式形式，直观地完成两种变换间的过渡，从而很好地补充了Dirac关于量子对易子和经典Poisson括号对应的理论。 §3.1 IWOP技术在经典变换对应到量子力学幺正变换中的应用 一般说来，幺正变换可用于：构造新的量子力学表象和对角化哈密顿量；本节旨在阐明用技术搭建起一座由经典正则变换到量子力学空间中么正变换算符的双向“桥梁”。 ：从经典变换到量子力学幺正变换 构建一个非对称的ket-bra积分型量子幺正算符， 这个非对称的形式由经典正则变换决定，然后用IWOP技术去完成这个积分，就得到幺正算符的明显式，这是物理上明确、数学上简洁优美的新途径。如对动量表象中的本征值作经典变换，构造出形如（1.3.7）的积分型的么正算符，用IWOP技术积分后即为单模压缩算符，又如构建，积分得 ， 此为宇称算符，在该算符作用下 ， ，， ， 。 当然，我们还可以构造对应于变换的量子力学幺正算符，（注：这里的有别于后面的）；相应的量子幺正算符构造为，再对其积分得两体全同玻色粒子对换算符。（注：对于全同费米子的置换，需要引入有关费米算符的IWOP技术） ：从所需的量子力学幺正变换定出非对称的ket-bra积分型算符 （1）的反问题是： 如何从所需的量子力学幺正变换定出非对称的ket-bra积分型, 现举例说明。 利用三模的坐标本征态构造如下的一个积分型的幺正变换算符 , , （3.1.1） 这里是坐标本征态，是一个待定的的矩阵，量子算符有以下的变换性质 , , , , （3.1.2） 选择不同的，我们就能构造相应的幺正算符；例如选取下面三个相互对易的算符 , , （3.1.3） 由（3.1.2）和（3.1.3）知道，要找到一个幺正算符满足 （3.1.4） , （3.1.5） , （3.1.6） 那么如何从幺正变换的结果确定矩阵呢？从（3.1.4）—（3.1.6）可以确定。首先，我们给出矩阵中的若干矩阵元 , （3.1.7） 这里* 指将要确定的参量，中其余的矩阵元可以选取有利于对角化某个给定的哈密顿量，例如取中的第一行为1，0，0，则由，也就定下了。即 , , （3.1.8） 或者取 , .（3.1.9） 它们的选取都是有利于我们对角化哈密顿量 ， （3.1.10） 使得在中不会出现的交叉项。确定了以后将矩阵代入（3.1.1）式，并用IWOP技术操作积分就可以得到幺正算符的显式表达。 第二个例子，对于哈密顿量 （3.1.11） 这里 为了对角化（3.1.11），需作变量替换 , , （3.1.12） 代入到（3.1.11）得到 . （3.1.13） 这里 , 这就意味着由于耦合项使得二维谐振子两重简并消失。（3.1.11）应该存在一个幺正算符，使得 , （3.1.14） 这里 ，， （3.1.15） 以至于 （3.1.16） 为了找，利用（3.1.13）和（3.1.15）得