雅克比矩阵(Jacobi).doc

雅可比矩阵(Jacobi方法) Jacobi 方法 Jacobi方法是求对称矩阵的全部特征值以及相应的特征向量的一种方法，它是基于以下两个结论 1) 任何实对称矩阵A可以通过正交相似变换成对角型，即存在正交矩阵Q,使得 QT AQ = diag(λ1 ,λ2 ,…,λn ) (3.1)其中λi(i=1,2,…,n)是A的特征值，Q中各列为相应的特征向量。 2) 在正交相似变换下,矩阵元素的平方和不变。即设A=(aij)n×n ,Q交矩阵,记B=QTAQ=(bij)n×n , 则  Jacobi方法的基本思想是通过一次正交变换,将A中的一对非零的非对角化成零并且使得非对角元素的平方和减小。反复进行上述过程,使变换后的矩阵的非对角元素的平方和趋于零，从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部特征值和特征向量。 1 矩阵的旋转变换设A为n阶实对称矩阵，考虑矩阵 易见 Vij(φ)是正交矩阵, 记 注意到B=Vij A的第i,j行元素以及 的第i,j列元素为 可得 如果aij≠0，取φ使得 则有 对A(1) 重复上述的过程，可得A(2) ,这样继续下去, 得到一个矩阵序列{A(k) }。可以证明，虽然这种变换不一定能使矩阵中非对角元素零元素的个数单调增加，但可以保证非对角元素的平方和递减，我们以A与A(1) 为例进行讨论。设 由式(3.4) 可得 这表明,在上述旋转变换下,非对角元素的平方和严格单调递减,因而由(3.2)可知，对角元素的平方和单调增加。 2. Jacobi方法  通过一系列旋转变换将A变成A(k+1) ,求得A的全部特征值与特征向量的方法称为Jacobi方法。计算过程如下  1)令k=0, A(k) =A   2) 求整数i,j, 使得 3) 计算旋转矩阵  4) 计算A(k+1)   5) 计算  6) 若E(A(k+1))ε, 则  为特征值，  QT = (V(0) V(1) …V(k+1))T 的各列为相应的特征向量；否则，k+1=k返回2,重复上述过程。 例5 用Jacobi方法求矩阵的特征值和特征向量。 一般地，Jacobi法不能在有限步内将A化成对角阵，但有下面的定理。  定理3 设A为n阶使对称矩阵，对A用Jacobi法得到序列{A(k) }, 其中A(0) = A, 则 证明 由Jacobi法计算过程 故有 (3.5)另一方面，有计算A 的公式可以得到 于是有, 代入式(3.5)得 因为 所以  /zhanshi/shuzhifenxi/shuzhifenxi/4.3/szfx043.htm 雅可比矩阵 　以m个n元函数ui=ui(x1,x2,…,xn)(i=1,2,…,m)的偏导数(j=1,2,…,n)为元素的矩阵 　　如果把原来的函数组看作由点x=(x1,x2,…,xn)到点u=(u1,u2,…,um)的一个变换T,则在偏导数都连续的前提之下，u随x的变化由相应的微分方程组 来描述。这是一个关于微分的线性方程组，其系数矩阵便是雅可比矩阵(J)，因而可写成矩阵形式 这隐含着(J)具有微分系数的某些性质,类似于一元函数的导数。而在m=n=1的情形,它又恰好是一个一元函数的导数；所以它也是一个一元函数的导数到m个n元函数的一种推广。因此，(J)作为微分系数或导数的推广,有时也被当作变换T的“导数”看待并记为T┡(x)=(J)。　　变换T的进一步的数量描述需要雅可比行列式。 定义 　　任给一个n维向量X，其范数‖X‖是一个满足下列三个条件的实数：　　（1） 对于任意向量X，‖X‖≥0，且‖X‖＝0óX＝0;　　（2） 对于任意实数λ及任意向量X，‖λX‖＝｜λ｜‖X‖；　　（3） 对于任意向量X和Y，‖X＋Y‖≤‖X‖＋‖Y‖；　　对于这样的,叫雅克比矩阵定义。　　 雅克比矩阵证明 　　　　关于这个的一般性证明稍微复杂点，现在就给你证明为什么二维的dx(u,v)dy(u,v)=Jdudv成立　　证明：对于曲面x=x(u,v),y=y(u,v),取它的微元，即小曲边四边形ABCD，其中　　A(u,v),B(u+△u,v),C