数学建模_微分方程之减肥问题.doc

摘要：在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数， 这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，在研究能量与运动之间的关系时，得到直接关系，就得求微分方程。 本文利用了微分方程模型求解实际问题，根据基本规律写出了平衡关系式，再利用一定的转换条件进行转化为简单明了的式子，求解出结果，对于第一问，利用微分方程反解出时间t（天），从而得到每个人达到自己理想目标的天数，同理，对于第二和第三问 ，利用以上方法，加上运动所消耗的能量，也可得出确切的时间，和所要保持体重所消耗的能量。 【关键字】：微分方程 转化 能量转换系数 问题重述 现有五个人，身高、体重和BMI指数分别入下表一所示，体重长期不变，试为他们按照以下方式制定减肥计划，使其体重减至自己的理想目标，并维持下去： 表一 人数 1 2 3 4 5 身高 1.7 1.68 1.64 1.72 1.71 体重 100 112 113 114 124 BMI 34.6 33.5 35.2 34.8 35.6 理想目标 75 80 80 85 90 题目要求如下： （1）在基本不运动的情况下安排计划，，每天吸收的热量保持下限，减肥达到目标； （2）若是加快进程，增加运动，重新安排计划，经过调差资料得到以下各项运动每小时每kg体重的消耗的热量入下表二所示： 表二 运动 跑步 跳舞 乒乓 自行车 (中速) 游泳 （50m/min） 热量消耗/k 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9 （3）给出达到目标后维持体重的方案。 2. 问题的背景与分析 随着社会的进步和发展，人们的生活水平在不断提高，饮食营养摄入量的改善和变化、生活方式的改变，使得肥胖成了社会关注的一个问题，为此，联合国世界卫生组织曾颁布人体体重指数（简记BMI）：体重（单位：kg）除以身高（单位：m）的平方，规定BMI在18.5至25为正常,大于25为超重,超过30则为肥胖,据悉我国有关机构针对东方人的特点,拟将上述规定中的25改为24.,30改为29。无论从健康的角度,是从审美的角度,人们越来越重视减肥,大量的减肥机构和商品出现.不少自感肥胖的人加入了减肥的行列,盲目的减肥,使得人们感到不理想,如何对待减肥问题,不妨通过组建模型,从数学的角度,对有关的规律作一些探讨和分析。 根据背景知识，我们知道任何人通过饮食摄取的能量不能低于用于维持人体正常生理功能所需要的能量，因此作为人体体重极限值的减肥效果指标一定存在一个下限，当时表明能量的摄入过低并致使维持他本人正常的生理功能的所需，这是减肥所得到的结果不能认为是有效的，它将危机人的身体健康，是危险的，称为减肥的临界指标，另外，人们认为减肥所采取的各种体力运动对能量的消耗也有一个所能承受的范围，记为0R,为三个区域A,B,C这表明减肥的效果是由控制饮食和增加消耗综合作用,相互协调的结果。A区域表明能量的摄取量高于体重时的摄入量A，这是体重不会从减少，称之为非减肥区，C区为危险区，B区为有效减肥区，可以看到单一的减肥措施达不到减肥效果。 3. 模型的假设与符号说明 3.1模型假设： （1）人体的脂肪是能量的主要储存和提供方式，而且也是减肥的主要目标，因为对于一个成年人来说体重主要由四部分组成，包括骨骼、肌肉、水和脂肪。骨骼，肌肉和水大体上可以认为是不变的，所以不妨以人体的脂肪的重量作为体重的标志，已知脂肪的转化率为100%，每千克的脂肪可以转化为8000kcal的能量（kcal为非际单位制单位）。 （2）忽略个体间的差异（年龄、性别、健康状况等）对减肥的影响，人体的体重仅仅看成时间t的函数w（t） （3）由于体重的增加或减少都是一个渐变的过程，所以w（t）是连续而且是光滑的； （4）运动引起的体重减少成正比于体重； （5）正常代谢引起的减少正比于体重，每人每千克体重消耗热量一般为28.75~45.71kcal，且因人而异 （6）人体每天摄入量是一定的，为了安全和健康，每天吸收热量不要小于1429kcal 3.2符号说明： D；脂肪的能量转化系数 W（t）：人体的体重关于时间的t的函数。 r：每千克体重每小时运动所消耗的能量（kcal/kg）/h b：每千克体重每小时所消耗的能量（kcal/kg）/h ：每天摄入的能量 W1： 五个人理想的体重目标向量 A ：五个人每天分别摄入的能量 W：五个人减肥前的体重 B：每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗 4．问题分析 如果以1天为时间的计量单位，于是每天基础代谢的能量消耗量应为B=24b（kcal/d）,由于人的某种运动一般不会是全天候的,不妨假设每天运动h小时,则每天由于运动所消耗的能量应为R=rh(kcal/d),在时间段(t,