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数学思想方法在高中数学解题中的应用 蔡书辉 摘要：数学思想方法的教学是数学教学的难点,搞好数学思想方法教学的关键在于牢固把握核心观念并以此基础构建数学思想方法网络。把握数学思想发展脉络有助于恰当把握教学的起点；把握数学思想发展网络有助于选择恰当的教学方法；构建数学思想网络可以使学生形成正确的数学观与世界观。高中数学教学中，常用的数学思想方法有函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想、分类讨论思想。 数学思想方法概述 1、函数与方程的思想 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等。 ? 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的教学是对方程的概念本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。 函数与方程的思想在解题中的应用可从以下几个方面思考： ? （1）函数与不等式的相互转化，对函数y＝f（x）?，当y0时，就转化为不等式f（x）?0，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式。 ?（2）数列的通项与前n项和公式是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要，数列也可用方程思想求解。 ? （3）解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论。 （4）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切。 2、转化与化归的思想 转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。 在实际解题过程中，实施化归与转化时，我们要遵循以下五项基本原则：(1)化繁为简的原则；(2)化生为熟的原则；(3)等价性原则；(4)正难则反原则；(5)形象具体化原则。 3、数形结合思想 数形结合的数学思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形；一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。 数形结合思想应用原则： （1）等价性原则 在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明。 （2）双向性原则 在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的。 （3）简单性原则 找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单。 4、分类讨论思想 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法。其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略。对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度。 分类讨论的常见类型： (1)由数学概念引起的分类讨论。有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等。 (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论。有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等。 (3)由数学运算要求引起的分类讨论。如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等。 (4)由图形的不确定性引起的分类讨论。有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等。 (5)由参数的变化引起的分类讨论。某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法。 (6)由实际意义引起的讨论。此类问题在