求值域的常用方法.doc

4、反函数法 适用类型：分子.分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型),也可用于其它易反解出自变量的函数类型。 例求函数的值域。 分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出x,从而便于求出反函数。 反解得 即 知识回顾：反函数的定义域即是原函数的值域。 故函数的值域为：。 5、函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。 适用类型：一般用于三角函数型，即利用等。 例求函数y=的值域。 解：由原函数式可得：= ＞0，＞0 解得：-1＜y＜1。 故所求函数的值域为(-1,1). 例求函数y=的值域。 解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y 可化为：sinx（x+β）=3y 即 sinx（x+β）= ∵x∈R，∴sinx（x+β）∈[-1，1]。即-1≤≤1 解得：-≤y≤ 故函数的值域为[-，]。 6、函数单调性法 适用类型：一般能用于求复合函数的值域或最值。（原理：同增异减） 例求函数的值域。 分析与解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令：配方得：由复合函数的单调性（同增异减）知：。 例 求函数y= （2≤x≤10）的值域 解：令y=，=，则 y ，在[2，10]上都是增函数。 所以y= y +在[2，10]上是增函数。 当x=2时，y =+=， 当x=10时，= +=33。 故所求函数的值域为：[，33]。 例求函数y=-的值域。 解：原函数可化为： y= 令y =，= ，显然y，在[1，+∞）上为无上界的增函数，所以y= y +在[1，+∞）上也为无上界的增函数。 所以当x=1时，y=y +有最小值，原函数有最大值=。 显然y＞0，故原函数的值域为(0,]。 7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 适用类型:无理函数、三角函数（用三角代换）等。 例1求函数y=x+的值域。 解：令x-1=t，（t≥0）则x=+1 ∵y=+t+1=+，又t≥0，由二次函数的性质可知 当t=0时，y=1，当t→0时，y→+∞。 故函数的值域为[1，+∞）。 例1求函数y=x+2+的值域 解：因1-≥0，即≤1 故可令x+1=cosβ，β∈[0，∏]。 ∴y=cosβ+1+=sinβ+cosβ+1 =sin（β+∏/4）+1 ∵0≤β≤∏，0≤β+∏/4≤5∏/4 ∴ -≤sin（β+∏/4）≤1 ∴ 0≤sin（β+∏/4）+1≤1+。 故所求函数的值域为[0，1+]。 例1求函数 y=的值域 解：原函数可变形为：y=- 可令x=tgβ，则有=sin2β，=cos2β ∴y=-sin2β cos2β=-sin4β 当β=k∏/2-∏/8时，=。 当β=k∏/2+∏/8时，y=- 而此时tgβ有意义。 故所求函数的值域为[-，]。 例1求函数y=（sinx+1）（cosx+1），x∈[-∏/12∏/2]的值域。 解：y=（sinx+1）（cosx+1）=sinxcosx+sinx+cosx+1 令sinx+cosx=t，则sinxcosx=（-1） y=（-1）+t+1= 由t=sinx+cosx=sin（x+∏/4）且x∈[-∏/12，∏/2] 可得：≤t≤ ∴当t=时，=+，当t=时，y=+ 故所求函数的值域为[+，+]。 例1求函数y=x+4+的值域 解：由5-x≥0，可得∣x∣≤ 故可令x=cosβ，β∈[0，∏] y=cosβ+4+sinβ=sin（β+∏/4）+4 ∵0≤β≤∏， ∴ ∏/4≤β+∏/4≤5∏/4 当β=∏/4时，=4+，当β=∏时，y=4-。 故所求函数的值域为：[4-，4+]。 8 数形结