求函数值域的几种常见方法详解.doc

高一数学——求函数值域的常见方法 1．直接法：利用常见函数的值域来求。 一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R； 反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}； 二次函数的定义域为R， 当a0时，值域为{}；当a0时，值域为{}. 例1．求下列函数的值域 ① y=3x+2 (-1x1) ② ③ 解：①∵-1x1，∴-33x3， ∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5] ②∵ ∴ 即函数的值域是 { y| y2} ③ ∵ ∴ 即函数的值域是 { y| y(R且y(1}（此法亦称分离常数法）（思考：如何使用口算法？） 2．二次函数在给定区间上的值域(最值)。 例2． 求下列函数的最大值、最小值与值域： ①； ②； ③； ④； 解：①∵抛物线的开口向上，对称轴，函数的定义域R， ∴x=2时，ymin=-3 , ∴函数的值域是{y|y-3 }. ②∵抛物线的开口向上，对称轴 [3,4]， 此时在[3,4] ∴当x=3时，=-2 当x=4时，=1 ∴值域为[-2，1]. ③∵抛物线的开口向上，对称轴 [0,1]， 此时在[0,1] ∴当x=0时，=1 当x =1时，=-2 ∴值域为[-2，1]. ④∵抛物线的开口向上，对称轴 [0,5]， ∴当x=2时，=-3 当 x=5时，=6（思考：为什么这里直接就说当 x=5时，=6，而不去考虑x=0对应的函数值情况？答：因为观察图像可知x=5离对称轴较远，其函数值比x=0对应的函数值大） ∴值域为[-3，6]. 注：对于二次函数, ⑴若定义域为R时， ①当a0时，则当时，其最小值； ②当a0时，则当时，其最大值. ⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其对称轴是否属于区间[a,b]. ①若[a,b],则是函数的最小值（a0）时或最大值（a0）的大小决定函数的最大（小）值. ②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值. 注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值； ②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3．判别式法： 有解判别法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，并且分子、分母，没有公因式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论 例3．求函数y=值域 解：原式可化为, 整理得， 若y=1,即2x=0,则x=0； 若y1,由题0， 即, 解得且 y1. 综上：值域{y|}. 例4．求函数的值域（注意此题分子、分母有公因式，怎么求解呢？） 解：把已知函数化为 (x(2且 x(-3) 由此可得 y(1 ∵ x=2时 ∴ ∴函数的值域为 { y| y(1且 y(} 说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称有解判别法.一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式并且分子、分母，没有公因式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论. 4．换元法 例5．求函数的值域 解：设 则 t0 x=1( 代入得 开口向下，对称轴 ∴时， ∴值域为 5．分段函数 例6．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 解：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y3}. 说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法. ★练习： 1、 答案：值域是. 2、求函数的值域 ①； ② 答案：值域是（-，]. 答案：值域是 小结:求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法.