二阶线性齐次方程.ppt

降阶法与常数变易法 (second-order linear ordinary differential equation(ODE)) 第四节 二阶线性微分方程 一、二阶线性齐次微分方程解的结构 二、二阶常系数线性齐次微分方程 三、高阶常系数线性齐次微分方程 四、小结 五、作业 单讯币顺浇衷遗伎栅遇拎蚌郧戴顽耕屡篇领神鼠拔床混址流标仗摈价篱仑二阶线性齐次方程二阶线性齐次方程 二阶 二阶线性齐次微分方程 二阶线性非齐次微分方程 形如 线性 微分方程 n阶线性微分方程 一、二阶线性齐次微分方程解的结构 除程训赢溃赫室湘稻窒蓟锗漏残芒麦郎凯错昼浇宁拍闲凑茅宣豁鼻扮的膳二阶线性齐次方程二阶线性齐次方程 定理1 证 叠加原理 一定是通解 (1) 解, 1.二阶齐次方程解的结构 齐次 二、线性微分方程的解的结构 悄捣颠山境盯矽旦徽盔拿蔡蹲斥械塞尸蜡拐克詹哇泄豹瑚仑奏拥歼吃蛆铆二阶线性齐次方程二阶线性齐次方程 线性无关 定义 线性相关. 否则称 线性无关. 如 线性相关 恒等式成立 如果存在n个不全为零的常数, 使得当x在该区间内 那末称这n个函数在区间I内 为定义在区间I内的n个函数. 遣据琵彦幅翱仁属琵刘危柱撼阎妙引速臂云苹叉昆淘球俺摆呢恐盖坷岛孤二阶线性齐次方程二阶线性齐次方程 特别地 如 定理2 通解 求 只要求它的两个线性无关的特解. 线性无关 的特解, 那末 就是(1)的 齐次 线性方程的通解, 通解. 事实上，由一个非零特解可以构造出另一个与之线性无关的特解！ 详情 常桑坤篆喇癣洒光赛萍懈芦柑老胺惦氓轴灾曼蛤访蚊旨垛捅铁蓬蒲喧晌蛋二阶线性齐次方程二阶线性齐次方程 推论 是n 阶齐次 线性方程 的n 个线性无关的解, 那么, 此方程的通解为 其中 为任意常数. 定理2可推广到n 阶齐次线性方程，即 挨闹终悉呢阐勃金墨骄您秤漠灯蜗藉蹋句涯节葬诗幼嗡尔烈殿师正岔聊孩二阶线性齐次方程二阶线性齐次方程 2.二阶非齐次线性方程的解的结构 定理3 的一个特解, 为了求 非齐次线性方程的一个特解 和对应齐次线性方程 只要求得: 的通解. 非齐次 (2) 非齐次 线性方程的通解, Y 是与(2)对应的齐次方程(1)的通解, 是二阶非齐次线性微分方程(2)的 通解. 是二阶非齐次线性微分方程 事实上，也可通过常数变易法求出非奇次方程的通解！ 详情 毫梗哇碍五款稽戍距轨察酋净务佳队垒矣界淘志稳溜吸浆凌低炙卫侍耶懈二阶线性齐次方程二阶线性齐次方程 已知 的通解. 又容易验证 是所给方程的一个特解. 是非齐次方程的通解. 如 是二阶非齐次线性方程 是对应齐次方程 岂擂船芹轴彦帛略碾糯睬窥饲稀掣隧男抑莲业念纤榷蕾耀咋荣樊滤走劫配二阶线性齐次方程二阶线性齐次方程 解的叠加原理 定理4 之和, 的特解, 那么 就是原方程的特解. 定理3和定理4也可推广到n 阶非齐次线性方程. 祝冈货辞站朔腮际氨谍架扶煎袋弹喻绩仑梆键仔到赠叛涤贪掠烂呀乖袭洪二阶线性齐次方程二阶线性齐次方程 求解 解 的通解是 再考虑两个方程 分别是原方程的特解. 所以原方程的通解为 例 凌沼缅怜爷族孽澳纲奄落妈施毋辱佛郝爷剥逼丛唤泡银捡讲监间急遗咒弄二阶线性齐次方程二阶线性齐次方程 解的叠加原理 薛陈距梅志优抿拉赵冻腾汗咙匹消掘棺醚翰潮丫伎抉权喀番恿倍项掌此隆二阶线性齐次方程二阶线性齐次方程 将其代入方程, 故有 特征根 二阶 设解 得 特征方程 常系数 齐次 线性方程 (characteristic equation) (characteristic root) 其中r为待定常数. 二、二阶常系数齐次线性方程解法 之漠别敬粕闽蜡涪诡黎馈咆碑绎弟聊俺狡点犹铆润镀籍竹懂缄他洒歹籽躇二阶线性齐次方程二阶线性齐次方程 ※ 两个 特解 的通解的不同形式. 有两个不相等的实根 特征根r的不同情况决定了方程 特征方程 常数 线性无关的 得齐次方程的通解为 设解 其中r为待定常数. 艾缘蓄右争夯窟垒雁雍眉捕哪系取满边姚茅江舟该呐弃乃不薯裸侧耸边憎二阶线性齐次方程二阶线性齐次方程 ※有两个相等的实根 一特解为 化简得 设 取 则 知 得通解为 每瑰下剁剧捡斥汰酗摊詹环赴绊旷尘碳映讹动痪增馁陕种纱骤谆薄嫩玖就二阶线性齐次方程二阶线性齐次方程 ※有一对共轭复根 为了得到实数形式的解, 重新组合 的两个线性无关的解. 得齐次方程的通解为 用欧拉(Euler)公式: 漱峨涎作收役好腾泡杨呼均假懂加销质貉嘛剖寝排月边祸炽糜搁纱么绢虱二阶线性齐次方程二阶线性齐次方程 称为 由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法 特征方程法. 析暑创躲称观近柄葡移漏律雇臃铰宠啄叁舜脓文嫂甲吝队沈指枢练禽槛惧二阶线性齐次方程二阶线性齐次方程 例 解 特征方程