数学期望E(x)D(x).ppt

第四章 引言 一、数学期望 问题：随机变量的均值应如何定义？ 例如，甲、乙两射手，各射击十次，X,Y分别表示他们射中的环数，如表： 解：现求在这十次射击中，平均击中的环数： 1.?离散型随机变量的数学期望 (1)定义 设离散型随机变量X的分布律为 P{X=xk}=pk ，k=1,2,…,若级数 绝对收敛，则称此级数的和为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即 例1: 设有某种产品投放市场，每件产品投放可能发生三种情况：按定价销售出去，打折销售出去，销售不出去而回收。根据市场分析，这三种情况发生的概率分别为0.6，0.3，0.1。在这三种情况下每件产品的利润分别为10元，0元，－15元（即亏损15元）。问厂家对每件产品可期望获利多少？ (2)几种典型的离散型随机变量的数学期望 i. X服从参数为p的(0,1)分布：E(X)=0×(1-p)+1×p=p； ii. 若X?B(n,p),则E(X)=np； 证明：X的分布律为 iii.若X?P(λ)，则E(X)=λ。 证明：X的分布律为 例1．若X? N(μ,σ2)，求E(X)。 解：X的概率密度为： (1) 几个常见连续型随机变量的数学期望 i.若X?U(a,b),则E(X)=(a+b)/2. 证：X的概率密度为 3.随机变量的函数的数学期望 定理 设Y是随机变量X的函数:Y=g(X)(g是连续函数)， (1) X是离散型随机变量，它的分布律为P{X=xk}=pk ，k=1，2，…， 若 绝对收敛，则有 注释 A.在计算随机变量的函数Y=g(X)的期望时，我们可以先确定Y=g(X)的分布进而计算函数Y的期望E(Y)。但由前两章的讨论可以看出，确定Y=g(X)的分布并不容易。因此在计算随机变量函数的期望时，我们一般利用定理的结论去计算。定理的重要意义在于当我们求E(Y)时，不必知道Y的分布而只需知道X的分布就可以了。 B.在计算一些分布较复杂甚至难以确定的随机变量的期望时，如能将X表示成有限个简单随机变量之和，那么利用期望的性质计算就可大大简化我们的问题。这也是计算期望的一个技巧。 C.上述定理还可以推广到二个或二个以上随机变量的函数情况。例如，设Z是随机变量X，Y的函数Z=g(X，Y)(g是连续函数)，那么，Z也是一个随机变量，若二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)则有 例1: 有5个相互独立工作的电子装置，它们的寿命Xk(k=1，2，3，4，5)服从同一指数分布，其概率密度为(θ0) 注 对任意的随机变量，其数学期望不一定存在。 例如 (1)随机变量X的取值为 三、数学期望的性质 数学期望具有以下几条重要性质(设以下所遇到的随机变量的期望是存在的)： (1) C为常数,则有E(C)=C； (2) 设X是一个随机变量，C常数，则有E(CX)=CE(X)； (3) 设X，Y是两个随机变量，则有 E(X+Y)=E(X)+E(Y) 这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况: (4) 设X，Y是相互独立的随机变量，则有:E(XY)=E(X)E(Y) 这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况 证：只对连续型随机变量证明(3)和(4)。 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)，其边缘概率密度为fX(x)，fY(y)。因为 第二节 方差 例:甲、乙两射手，各射击十次，X,Y分别表示他们射中的环数，如表： 解：E(X)=9.0；E(Y)=9.0. 但直观上，他们射击的水平有差异，甲较稳定，相对与E(X)的偏离较小，所以甲的技术较好。 需要刻划随机变量在其中心位置附近分散程度的大小这一特征，其中最重要的是方差。 二、方差的定义 1．定义 设X是一个随机变量，若E[X-E(X)]2存在，则称E[X-E(X)]2为X的方差，记为D(X)或Var(X)，即:D(X)=E[X-E(X)]2。 注释： (1)方差是随机变量X与其 “中心”E(X)的偏差平方的平均。它表达了X的取值与其期望值E(X)的偏离程度。若X取值较集中，则D(X)较小，反之，若取值较分散，则D(X)较大。 (2) 应用上，常用量 ，称为标准差或均方差，记为?(X)= 。 (3) 对任意的随机变量D(X)不一定存在，例如 (Cauchy分布)，因为E(X)不存在,所以D(X)不存在。 例1．甲、乙两射手的例中， 3．方差的性质 假定以下所遇到的随机变量的方差存在: (1) 设C是常数，则D(C)=0； (2) 设X是随机变量，a