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第一章习题解答 在下列各对数中，X是精确值ａ的近似值 （1） ａ=π，x=3.1 （2） ａ=1/7，x=0.143 （3） ａ=π/1000，x=0.0031 （4） ａ=100/7，x=14.3 试估计x的绝对误差和相对误差。 解：（1） e=∣3.1-π∣≈0.0416， δr= e/∣x∣≈0.0143 （2） e=∣0.143-1/7∣≈0.0143 δr= e/∣x∣≈0.1 （3） e=∣0.0031-π/1000∣≈0.0279 δr= e/∣x∣≈0.9 (4) e=∣14.3-100/7∣≈0.0143 δr= e/∣x∣≈0.001 已知四个数：x1=26.3，x2=0.0250， x3= 134.25，x4=0.001。试估计各近似数的有效位数和误差限，并估计运算μ1= x1 x2 x3和μ1= x3 x4 /x1的相对误差限。 解：x1=26.3 ｎ=3 δx1=0.05 δrx1=δx1/∣x1∣=0.19011×10-2 x2=0.0250 ｎ=3 δx2=0.00005 δrx2=δx2/∣x2∣=0.2×10-2 x3= 134.25 ｎ=5 δx3=0.005 δrx3=δx3/∣x3∣=0.372×10-4 x4=0.001 ｎ=1 δx4=0.0005 δrx4=δx4/∣x4∣=0.5 由公式：er（μ）= e（μ）/∣μ∣≦1/∣μ∣Σni=1∣f/xi∣δxi er（μ1）≦1/∣μ1∣［x2 x3δx1+ x1 x3δx2 +x1 x2δx3］ =0.34468/88.269275 =0.0039049 er（μ2）≦1/∣μ2∣［-x3 x4/ x21δx1+ x4/ x1δx3 + x3 / x1δx4］ =0.49707 设精确数ａ0，x是ａ的近似值，x的相对误差限是0.2，求㏑x的相对误差限。 解：δr≦Σni=1∣f/xi∣δxi =1/㏑x·1/ x·δx=δrx/㏑x=0.2/㏑x即δr≦0.2/㏑x 3、设精确数ａ0，x是ａ的近似值，x的相对误差限是0.2，求㏑x的相对误差限。 解：设 长方体的长宽高分别为50cm，20cm和10cm，试求测量误差满足什么条件时其表面积的误差不超过1cm2。 解：S=2（xy+yz+zx） δrS≦［(x+y)δz+(y+z)δx+(z+x)δy］/∣xy+yz+zx∣ δx=δy=δz δrz≦(x+y+z)δx /∣xy+yz+zx∣1 ∴δx17/6≈1.0625 4、长方体的长宽高分别为50cm，20cm和10cm，试求测量误差满足什么条件时其表面积的误差不超过1cm2。 解：设 测量误差小于0.00625时其表面积的误差不超过1cm2。 5. 改变下列表达式，使计算结果更准确。 （1） （2） （3） （4） 解：（1） （2） （3） （4） 7、计算的近似值，取。利用以下四种计算格式，试问哪一种算法误差最小。 （1） （2） （3） （4） 解：计算各项的条件数 由计算知，第一种算法误差最小。 解：在计算机上计算该级数的是一个收敛的级数。因为随着的增大，会出现大数吃小数的现象。 9、 通过分析浮点数集合F=（10，3，-2，2）在数轴上的分布讨论一般浮点数集的分布情况。 解：浮点数集合F=（10，3，-2，2）在数轴上离原点越近，分布越稠密；离原点越远，分布越稀疏。一般浮点数集的分布也符合此规律。 10、试导出计算积分的递推计算公式，用此递推公式计算积分的近似值并分析计算误差，计算取三位有效数字。 解： 此算法是数值稳定的。 11、为减少乘除法运算次数，应将下面算式怎样改写？ 解：令，则 试推导求函数值的绝对误差和相对误差。 解： 试推导求函数值的条件数。 解： 序列满足递推公式 求计算到的的误差，并讨论计算过程的稳定性。 解： … 误差逐渐增大，计算不稳定 写出下面Matlab程序所描述的数学表达式。 for j=1: n for i=1: m y ( i )= A (i, j)*x(j)+y(i) end end for j=1:n y=x(j)*A(:,j)+y end 解：（1） （2）