第二章习 题 解 答.doc

第二章习 题 解 答 1下列数据作为的近似数,试确定它们各有几位有效数字,并确定其相对误差限. (表示的近似数, 解：把近似数规格化形式后均有，首位非零数字为3 Ⅰ） 有3位有效数字， Ⅱ) 有3位有效数字， Ⅲ) 有2位有效数字， Ⅳ) ， 有3位有效数字， 2 证明§2.2中的定理 2.1,定理 2.2. 3 已知的近似数相对误差为，试问至少有几位有效数字？ 解：因的第一位数字为，所以的第一位数字，根据定理2.1，当 成立时，有位有效数字，而时 所以近似数至少有位有效数字. 4 为尽量避免有效数字的严重损失，当时应如何加工下列计算公式： （1） （2） （3） 解：（1）；（2）；（3） 5 序列满足递推关系 若取做近似计算，问计算到时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ 解： 此递推关系每计算一次误差增长倍，故算法不稳定. 6设验证若取依次计算时(不要求具体算出),请你证明这样设计的算法其误差传播是逐步扩大的,算法是不稳定的.并要求另外设计一种数值稳定的算法. 解: 对用分部积分法得 设误差其中.于是 当增大时是递增的, 的误差达到,是严重失真的. 数值稳定的计算方法: 将递推公式改为 于是在从后往前计算时, 的误差减少为原来的,若取足够大,误差逐步减少,计算结果是稳定可靠的. 7 可由下列迭代公式计算: 若是的具有位有效数字的近似值,求证是的具有位有效数字的近似值. 解 由 和,得到 数列有下界.又 即,数列单调不增. 故存在.令,对迭代公式两边取极限,可求得. 现设是的具有位有效数字的近似值,即有 于是,得 可见, 是的具有位有效数字的近似值. 8用秦九韶算法计算多项式在自变量时的值. 解： 故 补充例题 例题1：试问真值的近似数是否为有效数. 解： EMBED Equation.3 由有效数的定义知近似数具有两位有效数字，分别是 由于不是有效数字，故不是有效数. 例题2为尽量避免有效数字的严重损失，当时应如何加工下列计算公式 解： 为尽量避免有效数字的严重损失，应作变换： 例题3 设 （1）证明： （2）设计一种数值稳定的算法，并证明算法的稳定性. 解: (1) 对用分部积分法得 (2) 由（1）得：若已知，设计如下递推算法： 注意到： ,于是 取 可得如下递推算法 . 设 ，则 ， ，即. 每迭代一次误差均在减少，所以设计的递推算法是数值稳定的. 例题4 已知试建立一个具有较好数值稳定性的求的递推公式,并证明算法的稳定性. 解: 由 得到求的递推公式: , (*) 而初值,由此出发,根据上述递推公式可以求 的近似值求: ,. 记的绝对误差为,则有: , 即 ,. 由此可见,的误差将缩小传播到,误差传播是逐步衰减的.因而,递推公式(*)是数值稳定的. 例题5 数列满足递推公式.若取位有有效数字),问按此递推算法从算至时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 解: ,,则计算过程不稳定. 计算至时误差: .